{VERSION 5 0 "IBM INTEL NT" "5.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "Hyperlink" -1 17 "" 0 1 0 128 128 1 2 0 1 0 0 0 
0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 256 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }
{CSTYLE "" -1 257 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 
258 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 259 "" 1 12 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 260 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 261 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }
{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 
263 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 265 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }
{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 
268 "" 1 14 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 270 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 271 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 272 "" 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
273 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 274 "" 0 1 0 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 275 "" 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 276 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }1 0 0 0 8 4 0 0 
0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 257 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 -1 -1 0 
0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 259 
1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 
0 0 0 0 0 0 -1 0 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" 
{TEXT -1 1 "\n" }{TEXT 268 32 "An\341lisis Complejo - Matem\341tica 4
" }{TEXT -1 2 "\n\n" }{TEXT 276 28 "RAICES DE FUNCIONES ENTERAS " }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT 269 0 "" }
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 259 "" 0 "" 
{TEXT -1 192 "Laboratorio confeccionado por Alvaro Corval\341n, Depart
amento de Matem\341tica, FCENyN - UBA.  Revisado y corregido por Mirta
 Iriondo, Unidad de Matem\341tica y F\355sica, Fac. de Ciencias Qu\355
micas, UNC." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 87 "Vamos a tratar de encontrar soluciones complejas a la ecu
aci\363n no lineal exp(z)=sin(z)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Empecemos recurriendo a Maple (use " }
{HYPERLNK 17 "solve" 2 "solve" "" }{TEXT -1 154 ", y despu\351s verifi
que evaluando la ecuaci\363n en la soluci\363n encontrada). Para ello \+
cliquee una vez en el signo m\341s y coloque el cursor despu\351s del \+
comando " }{HYPERLNK 17 "restart" 2 "restart" "" }{TEXT -1 17 " apreta
ndo luego " }{TEXT 266 5 "enter" }{TEXT -1 18 ",  contin\372e dando " 
}{TEXT 267 6 "enter " }{TEXT -1 24 "despu\351s de cada comando." }}}
{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 256 11 "Soluci\363n:  " }
{TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 23 "solve(exp(z)=sin(z),z);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 "\n\n" }}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 380 "N\363tese que la respuesta fue simb\363l
ica (Ra\355ces de\{z-ln(sin(z))\}), que no precis\341bamos de Maple pa
ra semejante respuesta, y que ella no nos ayuda a hacernos una idea de
 si hay tales ra\355ces, ni de su valor num\351rico. Recurramos entonc
es al an\341lisis complejo. Pensemos, el problema es equivalente a hal
lar los ceros de f(z)=exp(z)-sin(z). Ahora bien: \277Qu\351 singularid
ades tiene f(z) en " }{TEXT 270 2 "C " }{TEXT -1 32 "ampliado, y de qu
\351 car\341cter son?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 
"" {TEXT 271 9 "Respuesta" }{TEXT -1 50 ": S\363lo una, en infinito, d
e caracter esencial. El " }{TEXT 263 25 "Teorema  grande de Picard" }
{TEXT -1 9 " dice :  " }{TEXT 272 187 "Sea f(z) una funci\363n en C am
pliado, y z0 una singularidad esencial, entonces  en cualquier entorno
 de z0    f(z) toma todos los valores complejos salvo un \372nico posi
ble valor excepcional." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 492 "Entonces, en cada entorno del infinito existen ra
\355ces de f(z)=0  o bien 0 es el \372nico valor que no se toma . Pero
 incluso en este \372ltimo caso, todo otro valor tan cercano al cero c
omo deseemos, se toma en cada entorno del infinito. De manera que si b
uscamos soluciones num\351ricas (de punto flotante), vamos a encontrar
las en cualquier entorno de infinito. De todos modos, dibujando las fu
nciones exp(x) y sin(x) sobre el eje real, es f\341cil de ver que hay \+
infinitas soluciones reales negativas." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 34 "plot(\{exp(x),sin(x)\},x=-4*Pi..0);\n" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 154 "Podemos saber si las \372nicas solucione
s de la ecuaci\363n son las reales?  Cuando termine el ejercicio,  com
pruebe la dificultad de intentar hacerlo  a mano. " }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 175 "Limit\351monos por ahora
 al problema de hallar 2 soluciones de f(z)=0, con z del menor m\363du
lo posible. Empecemos viendo qu\351 respuesta da Maple al problema en \+
punto flotante. Use " }{HYPERLNK 17 "fsolve" 2 "fsolve" "" }{TEXT -1 
43 ", y despu\351s verifique, mirando la soluci\363n." }}}{SECT 1 
{PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 257 9 "Soluci\363n:" }{TEXT -1 0 
"" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Carg
amos en la variable " }{TEXT 273 1 "f" }{TEXT -1 49 "  la funci\363n f
(z)=exp(z)-sin(z) y con el comando " }{HYPERLNK 17 "fsolve" 2 "fsolve
" "" }{TEXT -1 46 "   tratamos de encontrar una soluci\363n num\351ric
a" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
0 "" }{MPLTEXT 1 0 21 "f:=z->exp(z)-sin(z); " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "numsol:=fsolve(f(z)=0,z);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Comprobamos si es un
a soluci\363n " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "f(numsol);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 24 "Bastante cercano a cero!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 "\n\n\n" }}{EXCHG {PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 30 "Se imponen dos observaciones: " }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 39 "        1) Obtuvimos s\363lo una soluci\363n." }}{PARA 0 
"" 0 "" {TEXT -1 166 "        2) El valor absoluto (12.57) es consider
able. Podr\355a haber soluciones de menor valor absoluto. \277C\363mo \+
podr\355amos ver si hay soluciones, y cu\341ntas en \{|z|<a\}con " }
{TEXT 274 1 "a" }{TEXT -1 17 " menor que 12.57?" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Recurramos al " }{TEXT 
262 23 "principio del argumento" }{TEXT -1 2 ": " }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 275 189 "La cantidad de ceros de
 f(z), holomorfa en cualquier abierto acotado, en el recinto encerrado
 por una curva ser\341 la cantidad de vueltas que da su imagen alreded
or del origen de coordenadas." }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 150 "Piense c\363mo graficar \+
\351sto, primero por ejemplo con m\363dulo 1, despu\351s con m\363dulo
 2. Adem\341s d\351 un vistazo a la cantidad de soluciones con m\363du
lo <13.   " }{MPLTEXT 1 0 4 "    " }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 
-1 0 "" }{TEXT 258 9 "Soluci\363n:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 8 "modu:=1;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 
"plot([Re(f(modu*exp(I*t))),Im(f(modu*exp(I*t))),t=0..2*Pi]);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "modu:=2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "
> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "plot([Re(f(modu*exp(I*t))),Im(f(modu*exp(I*t
))),t=0..2*Pi]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "modu:=13
;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "plot([Re(f(modu*exp(I*
t))),Im(f(modu*exp(I*t))),t=0..2*Pi]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 "\n\n\n" }}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 370 "Habr\341 visto para entonces que hay muc
has soluciones de m\363dulo <13, que no hay ninguna de m\363dulo <1, y
 que hay por lo menos 2 de m\363dulo <2. \277Por qu\351 decimos por lo
 menos 2, y no exactamente 2? Porque el gr\341fico de la curva encierr
a 2 veces al origen, pero no sabemos cu\341ntas veces lo hemos recorri
do (si, por ejemplo, pasamos 5 veces por cada lugar, habr\355a 5x2=10 \+
ceros)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
196 "Repitamos el gr\341fico haci\351ndolo en 2 partes: de 0 a Pi, y d
e Pi a 2*Pi, para convencernos de que se recorre una sola vez, y por l
o tanto hay exactamente 2 ra\355ces de m\363dulo <2 (las que busc\341b
amos)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 
{PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 259 9 "Soluci\363n:" }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "modu:=2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 58 "plot([Re(f(modu*exp(I*t))),Im(f(modu*exp(I*t))),t=0
..Pi]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "plot([Re(f(modu*
exp(I*t))),Im(f(modu*exp(I*t))),t=Pi..2*Pi]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "\n\n\n\n" }}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "\277C\363mo hacemos ahora para est
imar cu\341les son esas dos soluciones?" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }{TEXT 260 12 "Soluci\363n:\n\n\n" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "z:=x+I*y;" }}
}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "u:=Re(f(z));" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "v:=Im(f(z));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "sol:=fsolve(\{u=0,v=0\},\{x=0..2,y=0..2\},real
);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 45 "CONTROLE  qu\351 hay guardado en sol[1] y sol[2]" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "sol[1];
" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "sol[2];" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 " Si es necesario cambie el orden en que e
st\341n colocadas en el siguiente comando" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 30 "z1:=rhs(sol[2])+I*rhs(sol[1]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "
> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "abs(z1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 6 "f(z1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "s
ol:=fsolve(\{u=0,v=0\},\{x=0..2,y=-2..0\},real);" }}}{EXCHG {PARA 0 ">
 " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "z2:=rhs(sol[2])+rhs(I*sol[1]);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "abs(z2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 6 "f(z2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "
" }}}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 261 10 "Ejercicios" }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 59 "Abra una nueva ventana de Maple, cliqueando debajo de men\372 \+
" }{TEXT 264 5 "file " }{TEXT -1 14 "la altenativa " }{TEXT 265 3 "New
" }{TEXT -1 38 " y resuelva los siguientes ejercicios:" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "      1.- Encontrar \+
todas las soluciones reales de la ecuacion f(x)=0 con |x|<4." }}{PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 "      2.- Encon
trar todas las soluciones de f(z)=0 con |z|<4." }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 119 "      3.- Considere la f
unci\363n g(z)=exp(z)-cos(z). Diga cu\341ntas soluciones existen de la
 ecuaci\363n g(z)=0. Justif\355quelo." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 63 "      4.- Encuentre todas las solucio
nes de g(z)=0 con |z|<5.  " }}}}}{MARK "0 1 0" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 
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