Algebra II - Práctica 1

1er. Cuatrimestre 2004 Grupos, subgrupos y morfismos

(1) Si p es un número primo, verificar que el conjunto de elementos no nulos de ℤ/pℤ con la operacion ā ∗ b̄ = \overline{ab} es un grupo de orden p − 1. ¿Que pasa si p no es primo?

(2) Sea n ∈ N y sea G_{n} := {z ∈ ℂ | z^{n} = 1}. Probar que (G_{n}, ·) es un grupo abeliano cíclico, i.e. existe un generador w ∈ G_{n} tal que ∀z ∈ G_{n} ∃k ∈ ℤ con z = w^{k}.

(3) Sea S^{1} = {z ∈ ℂ tal que |z| = 1}. Probar que (S^{1}, ·) es un grupo abeliano. ¿Es cíclico?

(4) Probar que si G es un grupo tal que todo a ∈ G satisface a^{2} = 1, entonces G es abeliano.

(5) Sea (G, ·) un grupo y S un subconjunto no vacío de G. Probar que: (a) S es un subgrupo de G si y sólo si xy^{−1} ∈ S para todo x, y en S.

(b) si G es finito entonces S es un subgrupo de G si y sólo si xy ∈ S para

todo x, y en S.

(6) Probar que si H es un subgrupo de ℤ entonces existe n ∈ ℕ_{0} tal que H = nℤ.

(7) Calcular el centro de los siguientes grupos:

(a) El grupo cuaterniónico H := {±1, ±i, ±j, ±k} donde la “tabla de multiplicación” de H está dada por

i.j = −j.i = k ; jk = −kj = i ; ki = −ik = j
i.i = j.j = k.k = −1

(verificar primero que H es un grupo)

(b) El grupo dihedral D_{n} := {1, s, ρ, s∗ρ, ρ^{2}, …, ρ^{n−1}, s∗ρ^{n}} (donde s y ρ satisfacen s^{2} = 1, ρ^{n} = 1 y ρ ∗ s = s ∗ ρ^{−1}) para n > 2. Sug. considere por separado n par o impar .

(8) Hallar ord(x) en los casos:

(a) G = S_{8} , x = (12)(567); x = (1234)(5678).

(b) G = ℤ_{12} , x = 2; x = 3; x = 4.

(c) G = D_{4} , x = ρ^{2} ∗ s; x = ρ^{3}.

(d) G un grupo cualquiera y x = a^{d}, donde a ∈ G es un elemento de orden

n y d es un número natural.

(9) Calcular todos los subgrupos de H, ver que a pesar de que H no es conmutativo, todos sus subgrupos son invariantes. (nombre: un grupo con esa propiedad se llama Hamiltoniano).

(10) Hallar todos los subgrupos de orden 4 de D_{4}. ¿Cuales son normales? ¿Cuales son isomorfos a ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2}? ¿ A ℤ_{4}?

(11) Sea p un primo, y Sl_{2}(ℤ_{p}) = \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ M_{2}(Z_{p}) con ad − bc = 1\}

(a) Probar que Sl_{2}(ℤ_{p}) es un grupo no abeliano de orden p^{2}(p − 1).

(b) Caracterizarlo en el caso p = 2.

(12) Sea X un conjunto y G un grupo.

(a) Probar que G^{X} = F unc(X, G) = {f : X → G} es un grupo con la multiplicación dada por (f.g)(x) := f(x).g(x).

(b) Si X y G son finitos, cuál es el orden de G^{X} en términos del orden de G y el cardinal de X?

(c) Sea H_{x_{0}} ⊂ G^{X} el subconjunto formado por las funciones f : X → G tales f(x_{0}) = e_{G}. ¿ Es un subgrupo? ¿ Es normal?

(d) Sea g ≠ e_{G} y H_{x_{0},g} ⊂ F unc(X, G) el subconjunto de funciones f que verifican f(x_{0}) = g, es un subgrupo?

(e) Calcular el centro de G^{X}.

(13) Sean X y G como antes, x_{0} ∈ X y ev_{x_{0}} : G^{X} → G dado por

ev_{x_{0}}(f) := f(x_{0})

donde f : X → G. Verificar que es un morfismo de grupos. Calcular núcleo e imagen.

(14) Sean K y G dos grupos, y Hom_{Gr}(K, G) el subconjunto de F unc(K, G) formado por las funciones que son morfismos. ¿Es un subgrupo de G^{K}? Responder la pregunta para el caso G conmutativo y para el caso G no conmutativo.

(15) Sea f : G → G′ con G′ abeliano. Ver que necesariamente [G, G] ⊆ Ker(f).

(16) Si G es un grupo cualquiera, ver que la función

ev_{1} : Hom_{Gr}(ℤ, G) → G
f ↦ f(1)

es biyectiva.

(17) Sea G un grupo abeliano y considerar el grupo (ℤ ⊕ ℤ) que consiste en ℤ × ℤ como conjunto y con la suma coordenada a coordenada. Ver que la función

Hom_{Gr}(ℤ ⊕ ℤ, G) → G × G
f ↦ (f(1, 0), f(0, 1))

es una biyección. ¿es cierto el enunciado anterior si se cambia G abeliano por G no abeliano? Dar demostración o contraejemplo según el caso.

(18) Ver que Hom_{Gr}(ℚ, ℤ) sólo contiene el morfismo nulo.

(19) Sea la función f : H → ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2} definida por

f(±1) = (0, 0) ; f(±i) = (1, 0) ; f(±j) = (0, 1) ; f(±k) = (1, 1)

un morfismo de grupos? En tal caso calcule núcleo e imagen.

(20) ¿Existe un isomorfismo de grupos entre:

(a) ℤ_{4} ≅ ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2}?

(b) ℤ_{2n} ≅ D_{n}?

(c) ℤ_{8} ≅ ℤ_{4} ⊕ ℤ_{2} ≅ ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2} ≅ H ≅ D_{4}?

(d) (ℝ, +) ≅ (ℝ_{>0}, .)?

(e) (ℝ, +) ≅ (ℝ − {0}, .)?

(21) Sean m, n ∈ ℕ coprimos, ver que Hom_{Gr}(ℤ_{m}, ℤ_{n}) contiene sólo al morfismo nulo.

(22) Sea k un cuerpo, ver que det : Gl_{n}(k) → (k^{∗}, .) es un morfismo de grupos, por lo tanto Sl_{n}(k) := {A ∈ k^{n×n} / det(A) = 1} es un subgrupo (invariante) de Gl_{n}(k). ¿cuánto vale Gl_{n}(k)/Sl_{n}(k) ?

(23) Sea H un subgrupo de ℚ finitamente generado. Demostrar que H es cíclico. Concluir que ℚ no es finitamente generado.

(24) Ver que S_{3} ≅ D_{3}.