Algebra II - Localización

1er. Cuatrimestre 2004

(1) Sea A = (ℤ_{15}, +, ∗) y S = {1, 3, 6, 9, 12}. Verificar que S es un conjunto multiplicativo y caracterizar A_{S}.

(2) Sea A = ({f : ℝ → ℝ : f es continua}, +, ∗) y sea S = {f : f(0) ≠ 0}. Demostrar que A_{S} ≃ {f : U ⊂ ℝ → ℝ}/ ∼ donde U es un abierto de ℝ que contiene al cero, y dos pares (f, U), (g, V) son equivalentes si existe W ⊂ U ∩ V tal que f|W = g|W.

• ¿Quién es U(A_{S})?

• Sea m := {f ∈ A_{S} : f(0) = 0}. Probar que m es un ideal de A_{S} y

que A_{S}/m ≃ ℝ como anillos.

(3) Sea A = (ℤ, +, ∗), p un primo y 𝔭 = pℤ. Sea S = ℤ\𝔭 (o sea el conjunto de todos los elementos no divisibles por p). Demostrar que si I es un ideal no nulo de A_{S}, entonces I = p^{r}A_{S} para algun r ∈ ℕ_{0}.