Algebra II - Práctica 10

1er. Cuatrimestre 2004

Teorema de estructura sobre d.i.p.’s

(1) Sea R an anillo semisimple. Probar que rad(R) = 0 donde rad(R) es la intersección de todos los ideales a izquierda maximales de R.

(2) Dado R un anillo, demostrar que rad(R) es un ideal bilatero.

(3) Sea R un anillo, y r ∈ rad(R). Probar que 1 − r es una unidad de R. ¿Es cierta la recíproca?

(4) Los anillos ℝ[ℤ_{2}], ℝ[ℤ_{3}] y ℂ[ℤ_{3}] son semisimples por el Teorema de Maschke. Dar la descomposición como producto de matrices sobre álgebras de división (como dice el Teorema de Wedderburn). Sugerencia: encontrar los módulos simples sobre los respectivos anillos. Antes de hacer cuentas, sabiendo que las únicas álgebras de dimensión finita sobre ℝ son ℝ, ℂ y ℍ, cuales son las posibilidades?

(5) Sea R un anillo semisimple, y M un R-módulo simple. Probar que M es isomorfo a un ideal de R.

(6) Sea R un anillo semisimple y M un R-módulo. A partir del teorema de Wedderburn sabemos que R ≅ ∏_{i=1}^{n} M_{r_{i}}(D_{i}) donde cada D_{i} = End_{R}(L_{i})^{op} es el anillo de endormorfismos del ideal simple L_{i}, y r_{i} es la cantidad de veces que aparece L_{i} en R como sumando directo. A su vez M se descomopone en suma directa de submódulos simples, cada uno de ellos isomorfo a algún L_{i} (¿por qué?). Dar una condición necesaria y suficiente sobre la multiplicidad de cada L_{i} en M para decidir cuando M es libre. Concluir que si R es semisimple, entonces R tiene noción de rango.

(7) (Una versión del Lemma de Schur) Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado, G un grupo finito tal que |G| es inversible en k. Sea M un k[G]-módulo simple no nulo. Provar que End_{k[G]}(M) ≅ k, es decir, los únicos morfismos G-lineales son las homotecias. (Sugerencia: pensar en autovalores).

(8) (Teorema chino del resto). Sea R un anillo conmutativo, r_{1}, ..., r_{n} elementos de A. Llamemos b_{i} = r_{1}.r_{2}...r̂_{i}...r_{n} y supongamos que ∑_{i=1}^{n} t_{i}.b_{i} = 1 para ciertos elementos t_{i}. Sea I = r_{1}.r_{2}...r_{n}.R, I_{i} = r_{i}.R R-ideales. Como I ⊆ I_{i}, R/I_{i} es un R/I-módulo para todo i = 1, ..., n. Probar que R/I ≅ ⊕R/I_{i}.

(9) Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo k, dim_{k}(V) < ∞ y ϕ : V → V una transformación lineal. Luego (V, ϕ) admite una estructura de k[x]- módulo dada por x.v = ϕ(v). Probar que:

• Existe una base en la que la matriz de ϕ se parte en dos bloques ⇔ (V, ϕ) se descompone en suma directa de dos k[x]-submódulos.

• No existe ninguna base en la que ϕ se escriba en bloques ⇔ (V, ϕ) es

un k[x]-módulo indescomponible, luego cíclico (¿por qué?)

(10) Sea (V, ϕ) un k[x]-módulo indescomponible, luego (V, ϕ) ≅ k[x]/ < p >. Si escribimos a p = q_{1}^{α_{1}}...q_{s}^{α_{s}} con los q_{i} irreducibles y sin repeticiones, considerar a_{i} = q_{i}^{α_{i}}. Ver que se está en las condiciones del teorema chino del resto (sug.: usar argumentos de divisibilidad)

Concluir (a partir del teorema chino del resto) que existe una base de V en la que ϕ se escribe en n bloques, cada uno de ellos correspondiene a un k[x] submódulo isomorfo a k[x]/ < a_{i} >.

(11) (Formas de Jordan) Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado y sea (V, ϕ) un k[x]-módulo. A partir del ejercicio anterior, y sabiendo que los polinomios irreducibles son todos de la forma (x − λ), demuestre que existe una base en la que ϕ se escribe en bloques de Jordan, es decir, en bloques de la forma

( \begin{matrix}λ & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 1 & λ & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 1 & λ & ... & : & : \\ 0 & 0 & 1 & & : & : \\ : & : & ... & ... & λ & 0 \\ 0 & 0 & ... & ... & 1 & λ \end{matrix} )

Sug.: en k[x]/ < (x − λ)^{n} > calcular la matriz del endomorfismo “multiplicar por x” en la base \{\overline{1}, \overline{(x − λ)}, \overline{(x − λ)^{2}}, ..., \overline{(x − λ)^{n−1}}\}.

(12) Sea R un d.i.p., M un módulo de tipo finito y T un submódulo tal que M/T es sin torsión. Entonces M es libre si y sólo si T es libre.

(13) Clasificar los grupos abelianos de orden 16, 18, 20, 189.

(14) Caracterizar a todos los grupos abelianos G tales que:

• todo elemento no nulo tiene orden primo.

• todo subgrupo propio es de orden primo.

• |G| = 36, G no tiene elementos de orden 4 y G tiene dos elementos de

orden 3.

(15) Sea k un cuerpo finito, ver que el subgrupo aditivo generado por el 1 es un subcuerpo necesariamente isomorfo a ℤ_{p} para algún número primo p (luego |k| = p^{n} para algún n, ¿por qué?). Considerar el grupo abeliano G = (k − {0}, .), o sea, el grupo multiplicativo de unidades de k. Probar que G es cíclico (sug. usando el teorema de estructura escribir las posibles estructuras de G. Luego, a través de la traducción de la notación aditiva a la multiplicativa, relacione la cantidad de ceros que pueden tener en k los polinomios, y los órdenes de los elementos de G).