Algebra II - Práctica 3

1er. Cuatrimestre 2004 Teoremas de Sylow y grupos resolubles

1. Teoremas de Sylow

(1) Deteminar todos los subgrupos de Sylow de A_{5} y D_{n} para todo n ≥ 2.

(2) Sea G un grupo simple de orden 168, calcular la cantidad de elementos de orden 7 que hay en G.

(3) Sea G un grupo no abeliano de orden 39. ¿ Cuántos elementos de orden 3 y de orden 13 hay en G? ¿Y si G es abeliano?

(4) Sea G un grupo no abeliano de orden 21. Para todo primo p calcular cuantos p-subgrupos de Sylow tiene G.

(5) Probar que:

(a) Todo grupo de orden 17^{2}19^{2} es abeliano.

(b) Todo grupo de orden 255 es cíclico.

(c) Todo grupo de orden 5.7.17 es cíclico.

(6) Sea G un grupo, y H un subgrupo de índice n. Probar que existe un subgrupo N < H tal que N ◁ G y [G : N] | n!. (Hint. Considerar la accion de G en el conjunto X = G/H, y tomar N el núcleo de la acción).

(7) Probar que no existen grupos simples de orden:

(a) p^{n} con n ≥ 2.

(b) p.q con p y q primos distintos.

(c) p^{2}.q con p y q primos distintos.

(d) p^{2}.q^{j} con p y q primos distintos tales que p < q y j ≥ 2.

2. Grupos Resolubles

(1) Sea G un grupo y H ◁ G. Probar que G es resoluble si y solo si H y G/H lo son.

(2) Probar que todo p-grupo es resoluble.

(3) Sean p y q primos distintos. Probar que:

(a) Todo grupo de orden p.q es resoluble.

(b) Todo grupo de orden p^{2}.q es resoluble.

(c) Si p y q son primos impares, todo grupo de orden 2pq es resoluble.

(4) Dado G un grupo finito se define la sucesión de subgrupos {G^{(n)}}_{n∈ℕ_{0}} de la siguiente manera:

\{ \begin{matrix}G^{(0)} & = G \\ G^{(n+1)} & = [G^{(n)}, G^{(n)}] si n ≥ 1 \end{matrix}

Probar que G es resoluble si y solo si existe k tal que G^{k} = {1}. Problema para el estudiante que adora hacer cuentas: probar que todo grupo de orden menor que 60 es resoluble.