Algebra II - Práctica 4

1er. Cuatrimestre 2004

Anillos

(1) Sea (A, +, .) un anillo, y M_{n}(A) el conjunto de matrices de n × n con coeficientes en A. Ver que M_{n}(A) con la suma coordenada a coordenada y el producto usual de matrices es un anillo. Ver que si n > 1, M_{n}(A) nunca es conmutativo.

(2) Sean A_{1}, …, A_{n} anillos, y B = A_{1} × … × A_{n}. Probar que B con la suma y producto coordenada a coordenada es un anillo. ¿ Es íntegro?

(3) Sea A un anillo y A[[x]] (llamado series formales con coeficientes en A e indeterminada x) el siguiente conjunto:

A[[x]] = A^{ℕ_{0}} = { funciones de ℕ_{0} en A}

donde se adopta por notación ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} = la función que a cada n ∈ ℕ_{0} le asigna a_{n} ∈ A. Se define en A[[x]] la operación:

(∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}).(∑_{n=0}^{∞} b_{n}x^{n}) := ∑_{n=0}^{∞}(∑_{k=0}^{n} a_{k}.b_{n−k})x^{n}

Ver que está bien definida y si definimos

(∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}) + (∑_{n=0}^{∞} b_{n}x^{n}) := ∑_{n=0}^{∞}(a_{n} + b_{n})x^{n}

entonces A[[x]] resulta un anillo. ¿quién es 1_{A[[x]]}?

(4) Probar que todo dominio de integridad finito es un cuerpo.

(5) Sea A un anillo conmutativo. Verificar que det : M_{n}(A) → A es una función multiplicativa o sea que la demostración de algebra lineal para ver que det(M.N) = det(M).det(N) es cierta en general. Ver que M ∈ M_{n}(A) es inversible si y solo si det(M) es una unidad. Hallar todos los elementos de U(M_{2}(ℤ_{4})).

(6) Sea G_{3} = {1, t, t^{2}, con t^{3} = 1}, A = ℝ[G_{3}].

(a) Sea e = \frac{1}{3}(1 + t + t^{2}) y e′ = (1 − e) = \frac{2}{3} − \frac{1}{3}t − \frac{1}{3}t^{2}. Ver que e^{2} = e, e^{′2} = e′ y e.e′ = 0.

(b) Sea B el anillo e.A y C el anillo e′.A con la multiplicación inducida por la de A. (¿porqué no son subanillos de A?). Probar que la aplicación A → B × C definida por a ↦ (e.a, e′.a) define un isomorfismo de anillos, en donde B × C tiene la suma y producto coordenada a coordenada.

(c) Ver que B tiene dimensión (sobre ℝ) 1 y C tiene dimensión 2, una base de B es por ejemplo {e}, y una basede C es {e′, f} donde f = t − t^{2} = e′.(t − t^{2}).Ver que valen los siguientes isomorfismos de anillos:

(i) B ≅ ℝ vía (e.(x.1 + y.t + z.t^{2}) ↦ x + y + z)

(ii) f^{2} = −3.e′, luego C ≅ ℂ vía (a.e′ +b.j) ↦ a+b.i, donde j = \frac{f}{\sqrt{3}}.

(7) Sea A un anillo. Un elemento a ∈ A de dice nilpotente si existe un n ∈ ℕ tal que a^{n} = 0. Probar:

(a) Si a ∈ A es un elemento nilpotente, entonces 1 − a es una unidad.

(b) 1 − a.b es unidad si y sólo si 1 − b.a es unidad. (sug.:demuéstrelo primero suponiendo que a.b es nilpotente para así hallar una relación entre (1 − a.b)^{−1} y(1 − b.a)^{−1}, ver después que esa relación vale en general).

(8) Sea D un entero. Definimos ℤ[\sqrt{d}] := \{a + b\sqrt{d}\} con a, b enteros.

(a) Verificar que ℤ[\sqrt{d}] con la suma y producto usual de números complejos es un anillo.

(b) Sea N : ℤ[\sqrt{3}] → ℤ la función (norma) definida por N(a + b\sqrt{3}) = a^{2} − 3b^{2}. Probar que N es una función multiplicativa.

(c) Probar que 2 + \sqrt{3} es una unidad.

(d) Más generalmente, probar que z ∈ ℤ[\sqrt{3}] es una unidad si y solo si N(z) = ±1.

(e) ¿Hay infinitas unidades en ℤ[\sqrt{3}]?

(9) Hallar TODAS las unidades de:

• ℤ, ℤ[x].

• K un cuerpo.

• ℤ[i].

• ℤ[\sqrt{−5}].

• ℤ[x]/ < x^{2} >.

• ℤ[x]/ < x^{3} >.

• ℤ[x]/ < x^{n} > donde n ∈ ℕ.

(10) Sea I ⊂ A un ideal y A conmutativo, entonces:

• I es un ideal primo si y solo si A/I es un dominio íntegro.

• I es un ideal maximal si y solo si A/I es un cuerpo.

(11) Sea k un cuerpo y A = k[x]. Dado f ∈ A ver que A/ < f > es un cuerpo si y solo si f es irreducible.

(12) Sea k un cuerpo y sea k[i] = k[G_{2}] (ver ejercicio (6)), o sea k[i] := {a.1+b.i} con a, b ∈ k (también lo notaremos a+b.i). Ver que si k = ℤ_{2} ó ℤ_{5}, entonces k[i] no es un cuerpo, pero si k = ℤ_{3} o k = ℤ_{7} sí lo es. ¿Cuando le parece que Z_{p}[i] va a ser un cuerpo? (sin demostración).

(13) Demuestre que k[i] ≅ k[x]/ < x^{2} + 1 >. ¿Es “x^{2} + 1” irreducible en ℤ_{2}? en ℤ_{3}? en ℤ_{5}? en ℤ_{11}? (comparar con ejercicio (11))

(14) Sea f : ℝ → ℝ un morfismo de anillos. Probar que:

(a) f(ℕ) ⊂ ℕ y f|_{ℕ} : ℕ → ℕ es la identidad. Deducir que f(ℚ) ⊂ ℚ y f|_{ℚ} : ℚ → ℚ es la identidad.

(b) Si a ≥ 0 entonces f(a) ≥ 0. Deducir que f : ℝ → ℝ es necesariamente creciente. (¿quién es el núcleo de f?).

(c) A partir de lo anterior ver que f = id.

(15) Sea p un primo. Probar que ℤ[x]/⟨p⟩ ≃ ℤ_{p}[x].

(16) Probar que ℤ[i]/⟨1 + i⟩ ≃ ℤ_{2}.

(17) Caracterizar los siguientes anillos:

(a) ℤ[i]/⟨1 + 2i⟩

(b) ℤ[x]/⟨2, x⟩

(c) ℤ[2]/⟨2x⟩