Algebra II - Práctica 5

1er. Cuatrimestre 2004

Módulos

A lo largo de la práctica A-módulo significará A-módulo a izquierda.

(1) Determinar si M es un A-módulo en cada uno de los siguientes casos:

(a) A = ℤ_{n}, M = ℤ_{m} con n, m ∈ ℕ tales que m | n, donde la acción esta dada por ā.x̄ = \overline{ax}

(b) A = ℤ, M = M_{2}(ℂ) con la suma usual de matrices, y la acción dada por a.B = aB^{t} (donde el subíndice t indica transpuesta).

(c) A = ℝ[x], M = ℝ^{n} con la suma usual de ℝ^{n} y la acción

f.(x_{1}, …, x_{n}) = (f(1)x_{1}, f(0)x_{2}, …, f(0)x_{n})

(d) A = M_{n}(ℤ), M = ℤ, con la suma usual de números enteros, y la acción

a.m = Det(a)m.

(2) Sean A y B anillos, sea M un B-módulo y ϕ : A → B un morfismo de anillos. Probar que la acción a._{ϕ}x = ϕ(a).x define una estructura de Amódulo sobre M.

(3) Determinar si S es un submódulo del A-módulo M en cada uno de los siguientes casos:

(a) A = ℚ, M = M_{n}(ℚ), S = {(a_{ij}) ∈ M | a_{ii} = 0 ∀ 1 ≤ i ≤ n}

(b) A = ℤ, M = M_{n}(ℤ), S = {(a_{ij} ∈ M | Det(a_{ij}) = 0}

(c) A un anillo cualquiera, M = A^{n}, S = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ M | x_{1} + ⋯ + x_{n} = 0}.

(d) A un anillo cualquiera, M = A[x], S = {f ∈ M | f = 0 o deg(f) ≤ n} (e) B un anillo cualquiera, A = M_{n}(B), M = B^{n} con la acción natural

de A en M y S = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ M | x_{1} + ⋯ + x_{n} = 0}.

(4) Sea A un anillo conmutativo y sea M un A-módulo. Probar que f es un morfismo de A-módulos, hallar su núcleo, su imagen y determinar si f es monomorfismo, epimorfismo, sección, retracción o isomorfismo en cada uno de los siguientes casos:

(a) f : M^{n} → M^{2}, f(x) = (x_{1} + x_{n}, x_{n}) (con n > 2).

(b) f : M^{n} → M^{n}, f(x) = (x_{1}, x_{1} + x_{2}, …, x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}).

(c) Si n ≤ m, f : M^{n} → M^{m}, f(x) = (x_{1}, …, x_{n}, 0, …, 0).

(d) Si n ≤ m, f : M^{n} → M^{m}, f(x) = (x_{1}, …, x_{n})

(e) Fijado a ∈ A, f : A[x] → A, f(g) = g(a).

(f) f : M_{n}(A) → A^{n}, f(a) = (a_{11}, …, a_{nn}).

(5) Un A-módulo M se dice simple si M ≠ {0} y sus únicos submódulos son {0} y M.

(a) Probar que un A-módulo M es simple si y sólo si M ≠ {0} y A.x = M para todo x ∈ M\{0}.

(b) Sea f : M → N un morfismo de A-módulos. Probar que:

• Si M es simple entonces f = 0 o f es un monomorfismo.

• Si N es simple entonces f = 0 o f es un epimorfismo.

• Si M y N son simples, entonces f = 0 o f es un isomorfismo.

(c) Sea M un A-módulo. Probar que End_{A}(M) con la suma definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x) y la composición de funciones es un anillo, y que cuando M es simple, End_{A}(M) es un anillo de división.

(6) Sea M un A-módulo y sean S y T submódulos de M. Probar que M = S⊕T si y sólo si existe e : M → M proyector (i.e. e^{2} = e) tal que S = ker(e) y T = Im(e).

(7) Sea f : M → N un morfismo de A-módulos. Probar que:

• f es sección si y sólo si f es monomorfismo e Im(f) es un sumando directo de N.

• f es retracción si y sólo si f es epimorfismo y ker(f) es un sumando

directo de M.

(8) Sea el anillo A = k × k con la suma y el producto coordenada a coordenada (donde k es un anillo). Ver que el morfismo diagonal k → k×k (λ ↦ (λ, λ)) es un morfismo de anillos por lo tanto todo A-módulo es un k-módulo. Ver que k × {0} y {0} × k son dos A-submódulos de A, que son isomorfos como k-módulos pero no como A-módulos.

(9) Sea A = ℤ, y M = ℤ⊕ℤ. Caracterizar el cociente de M por el ℤ submódulo generado por (2, 4) (sug.: encontrar un morfismo que salga de ℤ ⊕ ℤ que tenga como núcleo al generado por (2, 4)). ¿Quién es (ℤ⊕ℤ)/⟨(2, 4), (0, 3)⟩? .

(10) (Localización de módulos) Sea A un anillo, S ⊂ Z(A) un subconjunto multiplicativamente cerrado y M un A-módulo a izquierda. Se define M_{S} como el cociente de los pares (m, s) con m ∈ M y s ∈ S bajo la relación de equivalencia (m, s) ∼ (m′, s′) ⇔ ∃ t ∈ S tal que t(s′.m−s.m′) = 0. La clase del elemento (m, s) bajo esta relación se lo denotará (como era de esperar) \frac{m}{s}, y a \{(m, s) : m ∈ M, s ∈ S\}/ ∼=: M_{S}.

(a) Ver que M_{S} es naturalmente un A-módulo a izquierda y que la función j_{M} : M → M_{S} dada por m ↦ \frac{m}{1} es A-lineal.

(b) Ver que además M_{S} es un A_{S}-módulo bajo la acción obvia \frac{a}{s} \frac{m}{t} = \frac{a.m}{st}, y que además (j_{M} : M → M_{S}) tiene la siguiente propiedad: Si N es un A_{S}-módulo (y por lo tanto tambien un A-módulo ) y (f : M → N) es una morfismo A-lineal entonces existe una única f̄: M_{S} → N que factoriza a f a través de j_{M}, es decir, que f = f̄∘ j_{M}. En diagramas:

\xymatrix{M \ar[r]^{j_{M}} \ar[d]_{f} & M_{S} \ar@{-->}[dl]^{f̄} \\ N}

(11) (Polinomios de Laurent) Sea k un cuerpo y S ⊂ k[X] dado por S = {1, x, x^{2}, x^{3}, ..., x^{n}, ...}. Entonces k[X]_{S} ≃ k[X, X^{−1}] ≃ k[X, Y]/⟨X.Y − 1⟩.

(12) (Ideales a izq. de matrices) Sea k un cuerpo, consideremos el anillo A =

M_{3}(k) y e ∈ M_{3}(k) la matriz ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ). Ver lo siguiente:

(a) e^{2} = e, el ideal a derecha e.M_{3}(k) consiste de las matrices de la forma

( \begin{matrix}∗ & ∗ & ∗ \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ), el ideal a izquierda M_{3}(k).e consiste de las matrices de

la forma ( \begin{matrix}∗ & 0 & 0 \\ ∗ & 0 & 0 \\ ∗ & 0 & 0 \end{matrix} ), y el ideal bilátero generado por e es M_{3}(k).

(b) Sea I ⊆ A un ideal a izquierda. Definimos S_{I} el “subespacio” e.I ⊆

( \begin{matrix}∗ & ∗ & ∗ \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) entonces el ideal generado por S_{I} (i.e. M_{3}(k).S_{I}) coin-

cide exactamente con I.

(c) Los ideales a izquierda de M_{3}(k) están en correspondencia 1-1 con los subespacios de k^{3}. Encuentre los ideales asociados a los subespacios generados respectivamente por (0, 0, 1), (0, 1, 0) y (1, 0, 0).

(d) Generalización 1: demuestre que los ideales a izquierda de M_{n}(k) están en correspondencia biyectiva con los subespacios de k^{n} (con n ∈ ℕ). Generalización 2: si A es un anillo cualquiera con 1 demuestre que los ideales a izquierda de M_{n}(A) están en correspondencia biyectiva con los submódulos a izquierda de A^{n}.

(13) Sea k un cuerpo y n ∈ ℕ, los únicos ideales biláteros de M_{n}(k) son 0 y M_{n}(k). Si A es un anillo, los únicos ideales biláteros de M_{n}(A) son de la forma M_{n}(I) con I ⊆ A un ideal bilátero (sug. si e es una matriz tipo la del ejercicio anterior, entonces para J ⊆ M_{n}(A), J ↦ e.J.e da una matriz ‘concentrada’ en el lugar 11 y establece una biyección entre ideales bilateros de A y de M_{n}(A)). ¿puede haber un morfismo de anillos M_{n}(k) → k?

(14) Sea M un A-módulo a derecha y B = End_{A}(M). Ver que la acción End_{A}(M) × M → M dada por (f, m) ↦ f(m) define sobre M una estructura de End_{A}(M)-módulo a izquierda. Además M resulta un End_{A}(M) − A-bimódulo (i.e. las dos estructuras son compatibles). Si M = A^{n×1} (o sea A^{n} visto como “vector columna”) es un A-módulo a derecha. Ver que M además es un M_{n}(A)-módulo a izquierda con la multiplicación usual de matrices. Ver que esta estructura coincide con la definida antes, identificando End_{A}(A^{n}) ≃ M_{n}(A).