Algebra II - Práctica 6

1er. Cuatrimestre 2004

Módulos Noetherianos

(1) Sea A un anillo, y M un A-módulo. Se define la torsión de M como t(M) := {m ∈ M | ∃ a ∈ A, a ≠ 0 con a.m = 0}. Ver que si A es íntegro y conmutativo entonces t(M) es un A-módulo. ¿Y si A no es conmutativo? ¿Y si A no es íntegro?.

(2) Sea A íntegro, M y N dos submódulos y f : M → N un morfismo de A-módulos. Ver que f(t(M)) ⊂ t(N). Luego la asignación M → t(M) es functorial. Ver que t(t(M)) = t(M) y t(M/t(M)) = 0.

(3) Sea A = ℤ y M el A-módulo (ℂ^{×}, ∗). Hallar los elementos de torsión de M.

(4) Sea A = ℤ y M = ℤ ⊕ ℤ/⟨(4, 6)⟩. Calcular t(M) y M/t(M).

(5) Sea A un anillo, M un A-módulo y S un sistema de generadores de M. Decimos que S es un sistema de generadores minimal de M si ningún subconjunto propio de S es un sistema de generadores de M. Probar que:

(a) Todo módulo de tipo finito posee un sistema de generadores minimal.

(b) Consideremos a ℤ como un ℤ-módulo. Para todo n ∈ ℕ exite en ℤ un

sistema de generadores minimal con n elementos.

(6) Dar un ejemplo de:

(a) Un A-módulo finitamente generado que no sea Noetheriano.

(b) Un A-módulo tal que todo submódulo propio sea finitamente generado

y no sea Noetheriano.

(7) (a) ℤ y k[x] (k cuerpo) son anillos noetherianos.

(b) Si V es un k-espacio vectorial, V es noetheriano ⇔ dim_{k}(V) < ∞.

(8) Si A es noetheriano (a izquierda) y f : A → B un epimorfismo de anillos, entonces B es noetheriano (a izquierda).

(9) Si A es un anillo y S ⊂ Z(A) es un subconjunto multiplicativamente cerrado, entonces los ideales de A_{S} están en correspondencia con los ideales de A que no contienen a S. Concluir que A noetheriano implica A_{S} noetheriano.

(10) k cuerpo, entonces k[x, x^{−1}] es noetheriano.

(11) Sea A un anillo conmutativo finitamente generado como anillo, es decir, que existan a_{1}, ..., a_{r} ∈ A tal que cualquier elemento de A se escribe como suma de monomios a_{1}^{α_{1}}...a_{r}^{α_{r}}, entonces A es noetheriano.

(12) Sea 0 → M → N → T → 0 una s.e.c. de A-módulos a izquierda donde A es noetheriano. Entonces N es de tipo finito ⇔ M y T lo son.

(13) Sea M un A-módulo, f ∈ End_{A}(M) y llamemos para cada n ∈ ℕ K_{n} := Ker(f^{n}) e I_{n} := Im(f^{n}).

(a) K_{1} = K_{2} entonces K_{1} ∩ I_{1} = 0.

(b) I_{1} = I_{2} entonces K_{1} + I_{1} = M.

(c) M noetheriano entonces ∃n ∈ ℕ / K_{n} ∩ I_{n} = 0.

(d) M noetheriano y f epi entonces f es un isomorfismo.

(14) Sea S ⊂ Z(A) un subconjunto multiplicativamente cerrado.

(a) Si M ≃ ⨁_{i∈I} N_{i} entonces M_{S} ≃ ⨁_{i∈I}(N_{i})_{S}.

(b) M finitamente generado entonces M_{S} finitamente generado.

(c) si 0 → M → N → T → 0 es una s.e.c. de A-módulos, entonces 0 → M_{S} → N_{S} → T_{S} → 0 es una s.e.c. de A_{S}-módulos.

(d) M noetheriano entonces N_{S} es noetheriano.

(15) Sea A = ∏_{n∈ℕ} ℤ_{p^{n}}, es un grupo abeliano que es un anillo con el producto coordenada a coordenada. Sea B ⊂ A = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}, ...) ∈ A tales que x_{n+1} ≡ x_{n}(p^{n}).

(a) Dar ejemplos de tres elementos distintos en B. Demuestre que B es un subanillo que “contiene” a ℤ, y que los coprimos con p son inversibles en B (sug.: ver que son inversibles en A y después ver que el inverso está en B).

(b) Considerar en ℤ la métrica inducida por el ideal p.ℤ, es decir d(x, y) = |x − y|_{p} donde |x| = \frac{1}{p^{n}} si p aparece en la factorización de x con multiplicidad n (es decir, x ∈ (p.ℤ)^{n} y x ∉ (p.ℤ)^{n+1}, donde por convención |0| = 0). Si {x_{n}}_{n∈ℕ} es una sucesión de Cauchy en ℤ para esta métrica, entonces, ésta misma sucesión vista como elementos en B tiene límite (B resulta el completado de ℤ para esa métrica).