Algebra II - Práctica 7

1er. Cuatrimestre 2004 Módulos Artinianos

(1) (a) ℤ y k[x] (k cuerpo) son anillos noetherianos (práctica anterior) pero

no artinianos.

(b) Si V es un k-espacio vectorial, V es artiniano si y sólo si dim_{k}(V) < ∞.

(c) G_{p^{∞}} es un ℤ-módulo artiniano que no es noetheriano.

(2) Sea A un anillo artiniano, entonces M_{n}(A) es un anillo artiniano (sug.: usar la caracterización de ideales a izquierda de M_{n}(A)).

(3) Si A es un dominio integro artiniano entonces A es un cuerpo.

(4) G un ℤ-módulo artiniano entonces G es de torsion. G es noetheriano y artiniano si y sólo si G es finito.

(5) Sean B, C y D A-módulos, y 0 → B → C → D → 0 una S.E.C. de A-módulos, entonces C es artiniano si y sólo si B y D lo son.

(6) Sea A un submódulo de un módulo B entonces B es artiniano si y sólo si A y B/A lo son.

(7) Sea A := \{( \begin{matrix}d & r \\ 0 & s \end{matrix} ) | d ∈ ℚ y r, s ∈ ℝ\}. Probar que A es un anillo ar-

tiniano a derecha pero no a izquierda.

(8) Sean A y B anillos, y ψ : A → B un morfismo de anillos suryectivo. Si A es artiniano, B lo es.