Algebra II - Práctica 8

1er. Cuatrimestre 2004

Módulos Libres, Proyectivos, Inyectivos y funtor Hom

(1) Sea S el espacio vectorial formado por las sucesiones de números reales que tienen límite, sea S_{0} las sucesiones que tienden a cero. Encuentre isomorfismos explícitos S/S_{0} ≅ ℝ, S ≅ ℝ ⊕ S_{0}, S^{∗} ≅ S_{0}^{∗} ⊕ ℝ.

(2) Sea R un anillo con noción de rango. Dados M, N dos R-módulos libres, probar que M ≃ N si y solo si tienen igual rango.

(3) Sea R un anillo y M un R-módulo libre tal que existe una base de M con n elementos, y otra base de M con n + 1 elementos. Probar que dado m ≥ n natural, existe una base de M con m elementos.

(4) Probar que ℤ/nℤ no es un ℤ-módulo proyectivo.

(5) Probar que ℚ no es un ℤ-módulo proyectivo.

(6) Sea R un anillo y 0 → A → B → C → 0 una s.e.c. de R-módulos. Probar que si A y C son proyectivos, entonces B lo es.

(7) Describir TODOS los ℤ-módulos proyectivos de tipo finito y TODOS los k[x]-módulos proyectivos de tipo finito (k un cuerpo).

(8) Probar que si existe un epimorfismo ℤ^{n} → ℤ^{m} entonces n ≥ m. Si existe un monomorfismo ℤ^{n} → ℤ^{m} entonces n ≤ m.

(9) Sea R un anillo conmutativo, S ⊂ R un subconjunto multiplicativo y M un R-módulo proyectivo de tipo finito. Demuestre que M_{S} es un R_{S}-módulo proyectivo de tipo finito.

(10) Sea M un R-módulo a izquierda finitamente generado y proyectivo entonces M^{∗} = Hom_{R}(M, R) es un R-módulo a derecha finitamente generado y proyectivo.

(11) Un R-módulo M es finitamente generado y proyectivo si y solo si existen x_{i}, ..., x_{r} ∈ M y ϕ_{1}, ..., ϕ_{r} ∈ M^{∗} tal que para todo m ∈ M vale m = ∑_{i=1}^{r} ϕ_{i}(m).x_{i}.

(12) Sea M un R-módulo proyectivo de tipo finito. Probar que M es isomorfo como R-módulo a (M^{∗})^{∗}.

(13) Sea R un anillo conmutativo y M, N dos R-módulos finitamente generados y proyectivos. Probar que Hom_{R}(M, N) es finitamente generado y proyectivo.

(14) Probar que todo módulo sobre un anillo de division es inyectivo y proyectivo.

(15) Probar que ℤ no es un ℤ-módulo inyectivo.

(16) Recordar que dado R un anillo y M un R-módulo, M se dice divisible si

para todo r ∈ R, m′ ∈ M existe m ∈ M tal que r.m = m′. Probar que: • G_{p^{∞}} es un grupo abeliano divisible.

• Todo grupo abeliano finito no trivial NO es divisible.

• Todo grupo abeliano finito libre no trivial NO es divisible.

• ℚ es un grupo abeliano divisible.

(17) Probar que:

• La imagen por un morfismo de grupos de un grupo abeliano divisible es divisible.

• Todo sumando directo de un grupo abeliano divisible es divisible.

(18) Probar que no existe un epimorfismo de grupos (a) de G_{p^{∞}} → G_{p^{∞}} ⊕ G_{p}.

(b) de ℚ en G_{p^{∞}} ⊕ G_{p^{∞}}.

(c) de ℚ/ℤ en G_{p^{∞}} ⊕ G_{n}.

(19) M es un R-módulo inyectivo si y sólo si toda sucesión exacta de R-módulos del tipo 0 → M → X → Y → 0 se parte.

(20) Sea R un anillo cualquiera, demuestre que son equivalentes:

(a) Todo R-módulo es inyectivo.

(b) Todo R-módulo es proyectivo.

(c) Todo sucesión exacta de R-módulos se parte.

(d) Todo submódulo es un sumando directo.

(21) (a) Sean

... → P_{2} → P_{1} → P_{0} → M → 0
... → Q_{2} → Q_{1} → Q_{0} → N → 0

dos sucesiones exactas de R-módulos en donde los P_{i} y los Q_{i} son proyectivos (i ≥ 0) y sea f : M → N un morfismo de R-módulos. Demuestre entonces que f se levanta a un morfismo de sucesiones exactas, es decir que existe una familia de morfismos {f_{i}}_{i≥0}, f_{i} : P_{i} → Q_{i} tales que el siguiente diagrama es conmutativo:

\xymatrix{... \ar[r] & P_{2} \ar[r] \ar[d]^{f_{2}} & P_{1} \ar[r] \ar[d]^{f_{1}} & P_{0} \ar[r] \ar[d]^{f_{0}} & M \ar[r] \ar[d]^{f} & 0 \\ ... \ar[r] & Q_{2} \ar[r] & Q_{1} \ar[r] & Q_{0} \ar[r] & N \ar[r] & 0}

(b) Sean

0 → M → I_{0} → I_{1} → I_{2} → ...
0 → N → J_{0} → J_{1} → J_{2} → ...

dos sucesiones exactas de R-módulos en donde los I_{i} y los J_{i} son inyectivos (i ≥ 0) y sea f : M → N un morfismo de R-módulos. Demuestre entonces que f se levanta a un morfismo de sucesiones exactas, es decir, a {f_{i}}_{i≥0}, f_{i} : I_{i} → J_{i} tales que el siguiente diagrama es conmutativo:

\xymatrix{0 \ar[r] & M \ar[r] \ar[d]^{f} & I_{0} \ar[r] \ar[d]^{f_{0}} & I_{1} \ar[r] \ar[d]^{f_{1}} & I_{2} \ar[r] \ar[d]^{f_{2}} \ar[r] & ... \\ 0 \ar[r] & N \ar[r] & J_{0} \ar[r] & J_{1} \ar[r] & J_{2} \ar[r] & ...}