Algebra II - Práctica 9

1er. Cuatrimestre 2004

k-álgebras, producto tensorial, módulos playos.

(1) Si (n, m) = c probar que ℤ_{n} ⊗_{ℤ} ℤ_{m} = ℤ_{c} donde por convencion ℤ_{1} = 0.

(2) Si A es un grupo abeliano y m > 0, A ⊗_{ℤ} ℤ_{m} ≅ A/mA.

(3) Probar que ℚ ⊗_{ℤ} ℚ ≅ ℚ.

(4) Sea M un R-módulo proyectivo, entonces R_{S} ⊗_{R} M es un R_{S}-módulo proyectivo.

(5) Sea S ⊂ R un subconjunto multiplicativamente cerrado de un anillo conmutativo R. Si M es un R_{S}-módulo a derecha y N es un R_{S}-módulo a izquierda (luego son también R-módulos), entonces M ⊗_{R_{S}} N = M ⊗_{R} N.

(6) Sea M un R-módulo a derecha de torsión y N un R-módulo a izquierda divisible, entonces M ⊗_{R} N = 0. ¿Cuánto vale G_{p^{∞}} ⊗_{ℤ} G_{p^{∞}}?

(7) Sea R un anillo, A y B R-módulos a izquierda, y A′ ⊂ A, B′ ⊂ B submódulos. Probar que A/A′ ⊗_{R} B/B′ ≅ (A ⊗_{R} B)/C donde C es el subgrupo de A⊗_{R} B generado por los elementos a′ ⊗b y a⊗b′ donde a ∈ A, a′ ∈ A′, b ∈ B y b′ ∈ B′.

(8) Si M es un R-módulo a izquierda libre, entonces −⊗_{R} M es exacto, idem si M es proyectivo. ¿Es ℚ un ℤ-módulo playo? ¿Es ℚ un ℤ-módulo proyectivo?

(9) Sean M y N dos R-módulos a izquierda, y sea M^{∗} = Hom_{R}(M, R) que tiene una estructura de R-módulo a derecha. Verificar que la aplicación M^{∗} × N → Hom_{R}(M, N) que asigna al par (ϕ, n) el morfismo definido por m ↦ ϕ(m).n es R-bilineal, por lo tanto define un morfismo de grupos abelianos M^{∗} ⊗_{R} N → Hom_{R}(M, N). Ver que si M es R-proyectivo de tipo finito, entonces la aplicación definida anteriormente es un isomorfismo. (sug.: demostrar que si para un M dado es un isomorfismo entonces es también un isomorfismo para los M′ que sean sumandos directos de M y para los M′ = M^{n}, finalmente demostrar que para M = R es un iso).

(10) Sea N un R-módulo tal que la aplicación del ejercicio anterior N^{∗} ⊗_{R} N → End_{R}(N) es un isomorfismo, demostrar entonces que N es proyectivo de tipo finito (sugerencia: explotar el hecho de que la identidad de N está en la imagen).

(11) Sea R un anillo conmutativo, ver que si R^{(I)} ≅ R^{(J)} entonces el cardinal de I es igual al cardinal de J (sug.: usar − ⊗_{R} R/M donde M es algún ideal maximal de R).

Definición: si k es un anillo conmutativo con uno, una k-algebra unitaria A es un anillo unitario A junto con un morfismo de anillos k → Z(A) que hace de A un k-bimódulo simétrico.

(1) (Algebra tensorial, simétrica y exterior) Sea k un anillo conmutativo y V un k-módulo simétrico. Se define T (V) = ⊕_{n≥0}V^{⊗n} en donde se conviene que V^{⊗0} = k y que V^{⊗n+1} = V^{⊗n} ⊗ V. Es obviamente un k-módulo, que resulta una k-álgebra con la multiplicación dada por la yuxtaposición (i.e. v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{r} × w_{1} ⊗ ⋯ ⊗ w_{s} = v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{r} ⊗ w_{1} ⊗ ⋯ ⊗ w_{s}. Dicha álgebra se llama álgebra tensorial). Sea I_{S} el ideal bilátero generado por los elementos de la forma v⊗w−w⊗v donde v, w ∈ V y sea I_{Λ} el ideal bilátero generado por los elementos de la forma v ⊗ v. Se define S(V) := T (V)/I_{S} y Λ(V) = T (V)/I_{Λ}, se llaman respectivamente el álgebra simétrica y el álgebra exterior. Notación: a la clase módulo I_{S} de v_{1} ⊗ ... ⊗ v_{k} se la denotará v_{1}...v_{k} y a su clase módulo I_{Λ} se la denotará v_{1} ∧ ... ∧ v_{k}. Ver que S(V) es una k-álgebra conmutativa y que si V es un k-módulo finitamente generado, entonces Λ(V) es tambien finitamente generado como k-módulo. Probar además que si A es una k-álgebra cualquiera, entonces

Hom_{k}(V, A) ≅ Hom_{k−alg}(T (V), A)

si además A es conmutativa, entonces

Hom_{k}(V, A) ≅ Hom_{k−alg}(S(V), A)

Si V es k-libre de base {x_{1}, ..., x_{n}} demuestre que S(V) ≅ k[x_{1}, ..., x_{n}].

(2) Sea k un cuerpo y f : V → V un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita, dim_{k}(V) = n. Ver que Λ(V) = ⊕_{i=0}^{n}Λ^{i}(V) donde Λ^{i}(V) = Im(V^{⊗i} → Λ(V)). Calcular la dimensión de cada Λ^{i}(V), ver en particualar que dim_{k}(Λ^{n}(V)) = 1. Ver que Λ(f) : Λ(V) → Λ(V) (definido en el ejercicio anterior) se restringe para dar varias transformaciones lineales Λ^{i}(f) : Λ^{i}(V) → Λ^{i}(V). Como Λ^{n}(V) tiene dimensión 1, Λ^{n}(f) debe ser un múltiplo de la identidad, demuestre que Λ^{n}(f) = det(f).id_{Λ^{n}(V)}.

(3) Sean V y W dos k-módulos simétricos, demuestre que S(V ⊕W) ≅ S(V)⊗_{k} S(W), en particular k[x] ⊗_{k} k[y] ≅ k[x, y].

(4) Sea A una k-algebra conmutativa, M = A ⊗_{k} V donde V es un k-módulo. Demuestre que T_{A}(M) ≅ A ⊗ T_{k}(V), S_{A}(M) ≅ A ⊗ S_{k}(V) y Λ_{A}(M) ≅ A ⊗ Λ_{k}(V), los isomorfismos son de k-algebras.