Álgebra II Práctica 1

1. Sea G un grupo. Probar que el neutro y los inversos de cada elemento son únicos.

2. Probar que un semigrupo con neutro a izquierda y tal que todo elemento es inversible a izquierda es un grupo.

3. En el conjunto C_{n} = {g^{0}; g^{1}; …; g^{n−1}} se define la operación g^{i}.g^{j} = g^{r_{n}(i+j)} . Probar que C_{n} es un grupo. ¿Qué relación tiene con ℤ_{n}?

4. Sea n ∈ ℕ y sea G_{n} = {z ∈ ℂ/z^{n} = 1}.

a) Probar que (G_{n} , ·) es un grupo abeliano y hallar z^{−1} para cada z ∈ G_{n}.

b) Probar que G_{n} es cíclico.

5. Sea S^{1} = {z ∈ ℂ / |z| = 1}.

a) Probar que (S^{1}, ·) es un grupo abeliano y hallar z^{−1} para cada z ∈ S^{1}.

b) Determinar si S^{1} es cíclico.

6. En cada uno de los siguientes casos determinar si (G, ∗) es un grupo, monoide o semigrupo. Si es grupo, determinar si es abeliano y si es monoide, hallar su grupo de unidades:

a) G = ℕ_{0} a ∗ b = [a, b].

b) G = ℚ_{>0} a ∗ b = a · b.

c) G = M_{3}(ℤ) a ∗ b = a · b.

d) G = M_{n}(ℝ) a ∗ b = a + b.

e) G = SL_{n}(ℝ) = {a ∈ M_{n}(ℝ) / det a = 1} a ∗ b = a · b.

f ) G = End_{K}(V) , con V un K -espacio vectorial f ∗ g = f ∘ g.

g) G = {f ∈ End_{ℝ}(ℝ^{n}) / d(f(x), f(y)) = d(x, y) ∀ x, y ∈ ℝ^{n}} f ∗ g = f ∘ g.

h) G = T_{n}{a ∈ M_{n}(ℝ) / a_{ij} = 0 ∀ i > j} a ∗ b = a.b

i) G = Aut_{K}(V) f ∗ g = f ∘ g j ) G = {f : 𝕂^{n} → 𝕂^{n} / f(x) = Ax + b, A ∈ GL(n, 𝕂), b ∈ 𝕂^{n}} f ∗ g = f ∘ g

k) G = S(X) = {f : X ⟶ X / f es biyectiva}, donde X es un conjunto no vacío y f ∗ g = f ∘ g. Notación: Cuando X = {1, …, n} S(X) será notado S_{n}.

l) G = S(ℤ) f ∗ g = f ∘ g^{−1}. m) G = ℤ_{2} × ℤ_{2} (a, b) ∗ (c, d) = (r_{2}(a + c), r_{2}(b + d)).

n) G = U_{n} = {a ∈ ℤ_{n} / (a, n) = 1} a ∗ b = r_{n}(a · b). ñ) G = ℤ × ℤ (a, b) ∗ (a′, b′) = (a + a′, b + b′ + aa′)

o) G = ℤ × ℤ × ℤ (a, b, c) ∗ (a′, b′, c′) = (a + a′, b + b′ + aa′, c + c′ + (a^{2} − 2b)a′)

7. Probar que a) G_{n} ⊆ G_{m} si y sólo si n | m.

b) G_{n} ∩ G_{m} = G_{(n,m)}.

8. En cada uno de los siguientes casos, probar que H es un subgrupo de (G, ∗) :

a) G = ℂ^{∗}  ∗ = ·  H = S^{1}.
b) G = D_{4}  ∗ = ∘  H = {1, ρ, ρ^{2}, ρ^{3}}.
c) G = GL_{2}(ℂ)  ∗ = ·  H = H.

donde H = \{_{−}^{+} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , _{−}^{+} ( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ) , _{−}^{+} ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) , _{−}^{+} ( \begin{matrix}0 & i \\ i & 0 \end{matrix} )\} .

d) G = S^{1}  ∗ = ·  H = G_{n}.
e) G = ℤ_{2n}  a ∗ b = a + b  H = {a ∈ G / a es par}.
f ) G = GL_{n}(ℝ)  ∗ = ·  H = SL_{n}(ℝ).

g) G = {f : 𝕂^{n} → 𝕂^{n} / f(x) = Ax + b, A ∈ GL(n, 𝕂), b ∈ 𝕂^{n}} f ∗ g = f ∘ g, H = {f : 𝕂^{n} → 𝕂^{n} / f(x) = Ax + b, A ∈ S, b ∈ 𝕂^{n}}, donde S es cualquier subgrpo de GL(n, 𝕂) .

h) G del inciso o) del ejercicio 6, H = {(a, b, c)/abc = b^{3} + c^{2}}.

9. Probar que todos los grupos de 4 elementos son abelianos (Sug: hacer las posibles tablas de operaciones).

10. Sea G un grupo y sean H_{1} y H_{2} dos subgrupos de G.

a) Probar que H_{1} ∩ H_{2} es un subgrupo.

b) Probar que H_{1} ∪ H_{2} es un subgrupo si y sólo si H_{1} ⊂ H_{2} o H_{2} ⊂ H_{1} .

11. Hallar todos los subgrupos cíclicos de: ℤ_{2}, ℤ_{5}, ℤ_{6}, G_{3}, G_{4}, S_{3}, ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2}, ℤ_{2} ⊕ ℤ_{3} .

12. Sean G un grupo y a ∈ G. Probar que Z_{a} = {x ∈ G; x · a = a · x} es un subgrupo de G.

13. Probar que si H es un subgrupo de ℤ entonces existe n ∈ ℕ_{0} tal que H = n · ℤ.

14. Probar que si H es un subgrupo finito de ℂ^{∗} entonces existe n ∈ ℕ_{0} tal que H = G_{n}.

15. Sea G_{p^{∞}} = {x ∈ S^{1}/∃n ∈ ℕ/x^{p^{n}} = 1}. Probar que

a) Si H es un subrupo propio de G_{p^{∞}} entonces H = G_{p^{n}} para algún n ∈ ℕ.

b) Todo endomorfismo de G_{p^{∞}} es nulo o es un epimorfismo.

16. Sean (G, ·) un grupo y a, b ∈ G

a) Probar que las siguientes aplicaciones de G en G son biyectivas y encontrar sus inversas 1) x ⟶ a · x

2) x ⟶ a · x · b

3) x ⟶ a · x · a^{−1}

4) x ⟶ x^{−1}

5) x ⟶ a · x^{−1} · a^{−1}

b) Determinar cuáles de estas aplicaciones son morfismos.

c) Idem en el caso en que G sea abeliano.

17. Hallar ord(x) en los casos:

a) G = S_{8} x = (1 2)(5 6 7).

b) G = ℤ_{12}  x = 2  ;  x = 3  ;  x = 4.

c) G = H x = ( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ) .

d) G = S^{1} x = cos(\frac{2π}{n}) + i sin(\frac{2π}{n}).

e) G = D_{4} x = ρ^{2} s.

f ) G un grupo cualquiera y x = a^{d}, donde a ∈ G es un elemento de orden n y d es un

número natural.

g) G = S_{n}, x un producto de ciclos disjuntos de longitudes l_{1}, l_{2}, ⋯, l_{k}.

18. Sea f : G ⟶ G un morfismo de grupos. Probar que ord(f(x)) divide a ord(x) si ord(x) es finito.

19. Sea x ∈ ℤ_{n}. Probar que ord(x) = n si y sólo si (x, n) = 1 .

20. a) Calcular el orden de todos los elementos de S_{3} .

b) Sea σ := (1 3 2) , encontrar el subgrupo Z_{σ} = {r ∈ S_{3}; r.σ = σ.r}.

c) Hallar, si existen, elementos de S_{3} tales que sus centrlizadores tengan orden 1, 2, 3 ó 6.

21. a) Sea G un grupo y sean x ∈ G e y ∈ G tales que [x, y] = 1 . Probar que ord(xy) |

[ord(x) : ord(y)] .

b) Sean G_{1} y G_{2} grupos finitos. Probar que el orden de un elemento (g_{1}, g_{2}) ∈ G_{1} ⊕ G_{2} es el mínimo común múltiplo entre los órdenes de los elementos g_{1} y g_{2}

c) Probar que si n y m son coprimos ℤ_{n} ⊕ ℤ_{m} es cíclico.

d) Calcular el orden de cada elemento de ℤ_{2} ⊕ ℤ_{3} y de ℤ_{4} ⊕ ℤ_{6} .

22. Sea p un número primo, m ∈ ℕ y sea G un grupo de orden p^{m}. Probar que existe un elemento de orden p en G.

23. Probar que en todo grupo de orden par existe un elemento de orden 2.

24. Probar que un grupo finito G es cíclico si y solo si G es isomorfo a C_{n} para algún n ∈ ℕ.

25. Determinar si G y K son isomorfos en los casos:

a) G = ℤ_{4} K = ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2}.

b) G = ℤ_{n} K = G_{n}.

c) G = ℤ_{10} K = ℤ_{2} ⊕ ℤ_{5}.

d) G = ℚ K = ℝ.

e) G = U_{16} K = H.

f ) G = U_{16} K = ℤ_{2} ⊕ ℤ_{4}.

26. Dados los grupos:

\begin{matrix}ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2} & ℤ_{2} ⊕ ℤ_{4} & ℤ_{2} ⊕ G_{4} & ℤ_{8} \\ D_{4} & G_{8} & H & K \end{matrix}

donde K = {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k} con i^{2} = j^{2} = −1 y i · j = k = −j · i Decidir cuáles son isomorfos entre sí.

27. Sea f : G ⟶ L un epimorfismo. Decidir para cuáles P_{i} vale:

“ G satisface P_{i} ⇒ L satisface P_{i} "

(P_{1}) tener n elementos.

(P_{2}) ser finito.

(P_{3}) ser conmutativo.

(P_{4}) ser no conmutativo.

(P_{5}) ser cíclico.

(P_{6}) todo elemento tiene orden finito. (P_{7}) todo elemento tiene orden 6. (P_{8}) todo elemento tiene orden infinito.

28. Sea f : G ⟶ L un monomorfismo. Decidir para cuáles P_{i} del ejercicio anterior vale: “ L verifica P_{i} ⇒ G verifica P_{i} ".

29. a) Probar que Aut(ℤ) ≃ G_{2} .

b) Hallar Hom(G_{n} , ℤ) .

c) Hallar Hom(G , ℤ) para G un grupo de orden finito.

30. Sea G = \{( \begin{matrix}1 & b \\ 0 & a \end{matrix} ) / a, b ∈ ℤ_{7}, con a ≠ 0\} .

a) Hallar el orden de G.

b) Para cada primo p que divide al orden de G hallar todos los elementos de G que tengan orden p.

31. Probar que {2, 3} es un sistema de generadores de ℤ.

32. Sea G = M_{2}(ℤ_{2}) . Hallar |G| y encontrar subgrupos de G de orden 2, 4 y 8.

33. a) Probar que son equivalentes:

1) G es abeliano.

2) La aplicación f : G ⟶ G definida por f(x) = x^{−1} es un morfismo de grupos.

3) La aplicación f : G ⟶ G definida por f(x) = x^{2} es un morfismo de grupos.

b) Probar que si x^{2} = 1 para todo x ∈ G entonces G es abeliano y que, si además G es

finito, |G| = 2^{n} para algún n ∈ ℕ.

34. Probar que

a) Hom(ℤ , ℤ_{n}) ≠ 0.

b) Hom(ℤ_{5} , ℤ_{7}) = 0.

c) Hom(ℚ , ℤ) = 0.

d) Hom(ℤ_{n} , ℤ) = 0.

e) No existe un epimorfismo de ℤ en ℤ ⊕ ℤ.

35. Hallar dos grupos G y K no isomorfos tales que Aut(G) ≃ Aut(K) .

36. Sea G = \{( \begin{matrix}1 & b \\ 0 & a \end{matrix} ) / a, b ∈ ℤ_{4}, con (a, 4) = 1\}. Probar que G es un grupo no abeliano de orden 8. ¿Es G ≃ H? ¿Es G ≃ D_{4} ?

37. Caracterizar todos los grupos de orden ≤ 5 . Observar que son todos abelianos.