Álgebra II Práctica 2

Sea G un grupo y sean X, Y subconjuntos no vacíos de G. Se define

X · Y = XY = {x · y : x ∈ X, y ∈ Y }.

Si x ∈ G escribimos xH := {x}H.

1. Sea G un grupo y H y K subgrupos.

a) ¿ Será cierto que si H y K son subgrupos de G entonces HK es subgrupo de G?

b) Probar que si H ó K es normal entonces HK es subgrupo, y que además HK = KH.

c) Si H y K son subgrupos normales entonces HK = KH es un subgrupo invariante de G. Hallar |HK| (sugerencia: considere la función de conjuntos H × K → HK que asigna a un par (h, k) el producto hk).

2. Decidir cuáles de los subgrupos del ejercicio 8 de la práctica 1 son invariantes.

3. ¿Es [G, G] un subgrupo invariante de (G, ∗) para todo grupo (G, ∗) ?

4. Dados los siguientes subgrupos de S_{4} K = {id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} H = {id, (1 2)(3 4)} U = < (1 2 3 4) >

a) Determinar si U ◁ S_{4} .

b) Probar que H ◁ K, K ◁ A_{4} y K ◁ S_{4} .

c) Probar que H no es invariante en A_{4} ni en S_{4} .

5. Encontrar todos los subgrupos invariantes de G.

a) G = D_{n}, n impar.

b) G = D_{n}, n par.

c) G = H el grupo de los cuaterniones.

d) G un grupo abeliano.

6. Sea G un grupo y H un subgrupo tal que |G : H| = 2 . Probar que H ◁ G.

7. Hallar un sistema de representantes de G módulo S en los siguientes casos y determinar |G : S|

a) G = ℝ S = ℤ. b) G = GL(n, 𝕂) S = SL(n, 𝕂) donde 𝕂 = ℚ, ℝ ó ℂ.

c) G = D_{n} S =< r >.

d) G = ℂ^{∗} S = S^{1} .

e) G = ℂ^{∗} S = ℝ_{>0} . f ) G = ℂ^{∗} S = ℝ^{∗} ∪ ℝ^{∗}i.

8. Sea G un grupo. Sea a ∈ G y sea I_{a} : G ⟶ G definida por I_{a}(g) = a.g.a^{−1} .

a) Probar que I_{a} es un automorfismo de G (se denomina automorfismo interior de G). Se define Int(G) := {I_{a} : a ∈ G}.

b) Probar que Aut(G) es un grupo con la composición.

c) Probar que la aplicación I : G ⟶ Aut(G) es un morfismo de grupos y verificar que ker(I) = {a ∈ G : ag = ga, ∀g ∈ G}

Este subgrupo se llama el centro de G y se nota Z(G) .

Deducir que G/ Z(G) ≃ Int(G) .

Probar que Int(G) es un subgrupo invariante de Aut(G) .

9. Sea G un grupo y H un subgrupo. Probar que [G; G] ⊆ H ⇔ H ◁ G y G/H es abeliano.

10. Calcular todos los cocientes de S_{3} , D_{4} y H.

11. Probar que a) ℂ^{∗} / ℝ_{>0} ≃ S^{1}

b) ℤ / m · ℤ ≃ ℤ_{m}

c) GL_{n}(ℂ) / SL_{n}(ℂ) ≃ ℂ^{∗}

d) ℚ^{∗} / ℚ_{>0} ≃ G_{2}

e) S^{1} / G_{n} ≃ S^{1} f ) Si m | n entonces G_{n} / G_{m} ≃ G_{\frac{n}{m}}

12. a) Sea f : G ⟶ G′ un epimorfismo y sea H ◁ G. Si H′ = f(H) , probar que 1) H′ ◁ G′

2) G / H ≃ G′ / H’

b) ¿Qué pasa si f : G ⟶ G′ es un isomorfismo, g : H ⟶ H′ es un isomorfismo, H ◁ G,

H′ ◁ G′ con G / H y G′ / H’ ?

13. Probar que los únicos grupos no abelianos de orden 8 son H y D_{4} .

14. Si |G| = 2p entonces G es abeliano o G ≃ D_{p}.

15. Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas a) Si |G : H| = 2 y H es abeliano entonces H ⊂ Z(G) .

b) Si |G| = n y k divide a n, existe un elemento de orden k.

c) Si |G| = n y k divide a n, existe un subgrupo de orden k.

d) Si ∀x ∈ G, se tiene que ord(x) < ∞ ⇒ |G| < ∞.

e) Si p/|G|, entonces existe H subgrupo tal que |G : H| = p.

f ) Los elementos de orden finito de un grupo G forman un subgrupo.

16. Sea G un grupo y X un conjunto no vacío. Notamos F unc(X, G) al conjunto de funciones de X en G.

a) Probar que F unc(X, G) es un grupo con la multiplicación punto a punto.

b) Sean x ∈ X y g ∈ G. Sea H_{x,g} = {f ∈ F unc(X, G) : f(x) = g}. ¿Es H_{x,g} un subgrupo de F unc(H, G) ?.

c) Dado Y ⊂ X, definimos H_{Y} = {f ∈ F unc(X, G) : f(y) = 1∀y ∈ Y }. Probar que H_{Y} es un subgrupo invariante.

d) Probar que F unc(X, G) / H_{Y} ≃ F unc(Y, G) .

e) Sea H otro grupo. Consideramos Hom(H, G) el subconjunto de F unc(H, G) formado por las funciones que son además morfismos de grupos. ¿Es Hom(H, G) un subgrupo de F unc(H, G) ? ¿Y si G es abeliano?

17. Probar que D_{n} es isomorfo al grupo generado por dos elementos x, y sujetos a las relaciones x^{2} = y^{2} = (xy)^{n} = 1 (Notación: D_{n} ≃< x, y | x^{2} = y^{2} = (xy)^{n} = 1 >).

18. Hallar todos los grupos finitos generados por dos elementos de orden 2.

19. Sea G un grupo finito y H ⊂ G un subgrupo propio. Probar que ⋃_{g∈G} gHg^{−1} ⊊ G.