1^{er} cuatrimestre 2006

Álgebra II Práctica 3

1. Si G ≃ H._{d}K con H y K abelianos, entonces G es abeliano.

2. Probar que S_{n} y D_{n} ; n ≥ 3 son isomorfos a productos semidirectos no triviales convenientes.

3. ¿ Es H isomorfo a algún producto semidirecto no trivial?

4. En qué casos es S es un factor semidirecto de G. En los casos que lo sea encontrar un complemento y describir el isomorfismo.

a) G = ℂ^{∗} S = S^{1}

b) G = G_{12} S = G_{3}

c) G = ℂ S = ℝ

d) G = GL(n, ℂ) S = SL(n, ℂ)

e) G = G_{12} S = G_{2} f ) G = S_{4} S = {1; (12)(34); (13)(24); (14)(23)}

g) S_{n} S = {1; (12)}

5. Sea G un grupo. Se define Hol(G) = G ⋊_{Φ} Aut(G) , donde Φ : Aut(G) → Aut(G) es la identidad.

a) Probar que G está identificado canónicamente con un subgupo normal de Hol(G) y deducir que, vía tal identeficación, Hol(G) actúa sobre G por conjugación.

b) {f|_{G} : G → G/f ∈ Int(Hol(G))} = Aut(G) .

c) Concluir que todo automorfismo de G corresponde a conjugar por un elemenmto de un

grupo más grande (los automorfismos interiores de Hol(G) cubren Aut(G) ).

6. Probar en cada uno de los siguientes casos que el grupo G actúa sobre el conjunto X. En cada caso calcular X^{G}, las G -órbitas de X y el estabilizador de cualquier elemento de X.

a) G = {f : ℝ ⟶ ℝ, f(x) = ax + b con a ∈ ℝ^{∗}, b ∈ ℝ}, X = ℝ y f.x = f(x)

b) G = ℝ^{∗}, X = ℝ_{>0} y a.x = x^{a} con a ∈ ℝ^{∗} y x ∈ ℝ_{>0} .

c) G = SL(2, ℤ) , X = ℤ × ℤ y ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = (ax + by, cx + dy)

7. Sea G un grupo actuando sobre un conjunto X y S ◁ G. Determinar la condición necesaria y suficiente para que exista una acción de G/S en X tal que ā·x = a·x ∀ a ∈ G y x ∈ X.

8. Sea X un conjunto finito. Determinar el número de acciones de ℤ sobre X. Determinar cuántas de ellas son transitivas.

9. Sea G un grupo actuando sobre el conjunto X = {x_{1}; x_{2}; … x_{n}} y sea 𝕂 un cuerpo. Se define el espacio vectirial 𝕂X como el 𝕂 espacio vectorial con base X. La acción de G se extiende naturalmente a 𝕂X. Sea Λ = ∑_{g∈G} g. Definimos la transformación lineal λ : 𝕂X → 𝕂X, λ(v) = Λ · v. Calcular la traza de λ y probar que tr(λ) = ∑_{g∈G} #X^{g} = ∑_{x∈X} Z_{x}. Deducir el lema de Burnside.

10. Sea G un grupo.

a) Probar que si |G| = p^{n} con p primo y n ∈ ℕ entonces Z(G) ≠ 1 .

b) Probar que si G/ Z(G) es cíclico entonces G es abeliano.

c) Probar que si |G| = p^{2} con p primo entonces G es abeliano.

d) Caracterizar todos los grupos de orden p^{2} .

e) Dar un ejemplo de un grupo G no abeliano tal que G/ Z(G) sea abeliano.

11. Sea G un grupo no abeliano tal que |G| = p^{3} . Probar que Z(G) = [G; G] y calcular |Z(G)|.

12. Sea G un grupo tal que |G| = 2n, G tiene n elementos de orden 2 y los restantes forman un subgrupo H. Probar que entonces n es impar y H ◁ G. ¿Es necesariamente G isomorfo a D_{n}?

13. Sea p primo. Entonces |G| = p^{k} para algún k ∈ ℕ si y sólo si ∀ x ∈ G, ∃ s ∈ ℕ_{0} tal que ord(x) = p^{s}.

14. G es un p -grupo ⇔ ∀H ◁ G, H y G/H son p -grupos.

15. Calcular todos los p - subgrupos de Sylow de:

ℤ_{2} , ℤ_{12} , ℤ_{21} ⊕ ℤ_{15} , S_{3} ⊕ ℤ_{3} , S_{3} ⊕ S_{3}

16. Sea G un grupo, |G| = pq, p > q primos tal que q no divide a p − 1 . Probar que G es cíclico.

17. Sean p, q primos , |G| = p^{2}q. Probar que G no es simple.

18. Probar que no existen grupos simples de los siguientes órdenes:

30, 36, 56, 96, 200, 204, 260, 2540, 9075 .

19. Sea G con |G| < ∞ y p < q primos tal que p^{2} no divide a |G|. Sean H_{p} y H_{q} subgrupos de Sylow de G con H_{p} ◁ G. Probar a) H_{p}.H_{q} es subgrupo de G

b) H_{p}.H_{q} ◁ G ⇒ H_{q} ◁ G.

20. Sean p y q primos. Determinar el número de estructuras de grupo de orden pq.

21. Sean p y q primos impares tales que p < q y que p no divide a q − 1 . Determinar el número de estructuras de grupo de orden 2pq.

22. Probar que existe una única estructura no abeliana de producto semidirecto de orden p^{3} tal que todo elemento tiene orden p.

23. Sea G un grupo y sea H ◁G. Probar que G es resoluble si y sólo si H y G / H son resolubles.

24. Sean p y q primos distintos. Probar las siguientes afirmaciones:

a) Todo grupo de orden pq es resoluble.

b) Todo grupo de orden p^{2}q es resoluble.

c) Si p y q son impares, todo grupo de orden 2pq es resoluble.

d) Todo grupo de orden menor que 60 es resoluble.

25. Dado G un grupo finito, se define la sucesión de subgrupos {G^{(n)}}_{n∈ℕ_{0}} recursivamente de la siguiente manera:

\{ \begin{matrix}G^{(0)} & = & G \\ G^{(n+1)} & = & [G^{(n)}, G^{(n)}] ∀ n ∈ ℕ \end{matrix}

Probar que G es resoluble si y sólo si existe k ∈ ℕ tal que G^{(k)} = {1}.