1^{0} cuatrimestre 2006

Álgebra II Práctica 5

1. ¿Existe algún producto · que haga de (ℤ_{n}, +, ·) un cuerpo? ( + es la suma usual)

2. Sea A = C[0, 1] el anillo de funciones reales continuas definidas en [0, 1] .

a) ¿Hay divisores de cero en A?

b) ¿Cuáles son los elementos inversibles en A?

3. Caracterizar el grupo de unidades de:

ℤ, 𝕂 cuerpo, ℤ[i], ℤ[\sqrt{−5}], B[X] con B dominio íntegro.

4. ¿Es det : M_{n}(A) ⟶ A un morfismo de anillos? ¿Y la traza?

5. Probar que un morfismo de anillos f : A → B es inyectivo, si y sólo si, para todo anillo C y morfismos, g_{1} : C → A y g_{2} : C → A se tiene que, si f^{o}g_{1} = f^{o}g_{2} , entonces g_{1} = g_{2} .

6. Sea 𝕂 un cuerpo y sea f ∈ 𝕂[X] . Probar que 𝕂[X]/ < f > es un cuerpo, si y sólo si, f es irreducible en 𝕂[X] . ¿Sigue valiendo esto si se reemplaza el cuerpo 𝕂 por un anillo conmutativo A?

7. Sea 𝕂 un cuerpo. Probar que los únicos ideales biláteros de M_{2}(𝕂) son 0 y M_{2}(𝕂) . ¿Es M_{2}(𝕂) un anillo de división?

8. Sea A un anillo. Probar que existe un subanillo B ⊂ A tal que B ≃ ℤ/nℤ para algún n ∈ ℕ_{0} .

9. Probar que todo morfismo de anillos que sale de un cuerpo es inyectivo.

10. Probar que si f : ℝ ⟶ ℝ es un morfismo de cuerpos entonces f = id.

11. Hallar todos los morfismos de cuerpos f : ℂ ⟶ ℂ que satisfacen f(ℝ) ⊆ ℝ.

12. Probar que ℤ[X]/ < X^{2} + 1 >≃ ℤ[i]

13. Probar que ℤ[i]/ < 1 + i >≃ ℤ_{2} y caracterizar el anillo cociente ℤ[i]/ < 1 + 2i >.

14. Sea p ∈ ℤ un primo. Probar que ℤ[X]/ < p >≃ ℤ_{p}[X] .

15. Sea p ∈ ℤ un primo. Probar que < p > es un ideal primo en ℤ[i] si, y sólo si, -1 no es un cuadrado en ℤ_{p}.

16. Hallar las unidades de ℤ[X]/ < X^{3} >.

17. Probar que si I es un ideal primo de ℤ[X] entonces I ∩ ℤ es un ideal primo de ℤ.

18. Sean A y B anillos conmutativos, P un ideal primo de B y f : A ⟶ B un morfismo de anillos. Probar que f^{−1}(P) es un ideal primo.

19. Caracterizar los anillos cocientes

\begin{matrix}ℤ[X]/ < 2, X > & ℤ[X]/ < 2 > & ℤ[X]/ < 2X > & ℤ[X]/ < X^{2} > \\ ℤ[X]/ < X^{2} + 1 > & ℤ[X]/ < X^{2} + X + 1 > & ℤ[i]/ < 2 > & ℤ[i]/ < 2, 1 + i > \end{matrix}

20. Mostrar isomorfismos de

a) ℚ[X]/ < X^{3} + X >≃ ℚ × ℚ(i)

b) ℝ[X]/ < X^{4} − 1 >≃ ℝ × ℝ × ℂ

21. Sean A un anillo conmutativo con unidad y A′ un subanillo. Probar o dar contraejemplo:

a) A cuerpo ⇒ A′ cuerpo

b) A dominio íntegro ⇒ A′ dominio íntegro

c) A′ dominio íntegro ⇒ A dominio íntegro

22. A ⊆ B ⊆ C dominios íntegros. Buscar algún ejemplo en que A y C sean DFU, y B no lo sea.

23. Sea D un dominio de integridad finito. Probar que D es un cuerpo.

24. Probar que los siguientes son dominios euclídeos, exhibiendo en cada caso una norma euclídea. a) ℤ, el anillo de los números enteros.

b) ℤ[i] , los enteros de Gauss.

c) 𝕂[X] , polinomios en una variable con coeficientes en 𝕂.

d) 𝕂[X, X^{−1}] , polinomios de Laurent con coeficientes en 𝕂.

e) 𝕂[[X]] , el anillo de series formales con coeficientes en 𝕂.

f ) 𝕂, un cuerpo.

25. Sean A dominio íntegro y a ∈ A. Probar que:

a) a primo ⇒ a irreducible

b) A DFU, a irreducible ⇒ a primo 26. Probar que si A es un DF tal que todo irreducible es primo, entonces A es DFU.

27. Probar que en ℤ[\sqrt{−5}] los números 3, 7, 4 + \sqrt{−5}, 1 + 2\sqrt{−5} y 1 − 2\sqrt{−5} son irreducibles y no primos. ¿Es ℤ[\sqrt{−5}] DFU ?, ¿Es DF?

28. Resolver en ℤ la siguente ecuación

x^{3} − y^{2} = 2

29. Sean A anillo conmutativo y f ∈ A[X] , f ≠ 0 . Probar que f es divisor de cero en A[X] si, y sólo si, existe r ∈ A \ {0} tal que rf = 0 .

30. A dominio íntegro, I ideal propio de A; π : A ⟶ A/I la proyección canónica. Sean

f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} ∈ A[X] mónico y f̄ = ∑_{i=0}^{n} π(a_{i})X^{i} ∈ A/I[X] . Probar que:

f es reducible en A[X] ⇒ f̄ es reducible en (A/I)[X]

31. Criterio de irreducibilidad de Eisenstein: Sea A un DFU y 𝕂 su cuerpo de cocientes. Sea f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} ∈ A[X] . Supongamos que exista un primo p ∈ A tal que:

a) p no divide a a_{n}

b) p divide a a_{i}, 0 ≤ i ≤ n − 1

c) p^{2} no divide a a_{0}

Probar que f es irreducible en 𝕂[X]

32. Lema de Gauss: Sea A un DFU y 𝕂 su cuerpo de cocientes. Sea f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} ∈ A[X] con a_{0} ≠ 0 . Si p y q son elementos de A no nulos, coprimos entre sí tales que \frac{p}{q} ∈ 𝕂 es raíz de f , demostrar que p/a_{0} y q/a_{n} en A.

33. Probar que todo ideal primo de ℤ[X] es alguno de los siguientes:

a) < p > ó < p, f > con p ∈ ℤ primo, f ∈ ℤ[X] tal que f̄ ∈ ℤ_{p}[X] es irreducible.

b) < f > donde f es primitivo e irreducible en ℚ[X]

34. Sean 𝕂 un cuerpo y f, g ∈ 𝕂[X_{1}, …, X_{n}] . Probar que:

a) f + g = 0 ó gr(f + g) ≤ max{gr(f), gr(g)}

b) fg = 0 ⇒ f = 0 ó g = 0. (Es decir, 𝕂[X_{1}, …, X_{n}] es un dominio íntegro)

c) gr(fg) = grf + grg. (Sug: descomponer a f y g en suma de polinomios homogéneos.) d) Cuáles son los elementos inversibles de 𝕂[X_{1}, …, X_{n}] ?

e) Probar que 𝕂[X_{1}, …, X_{n}] tiene estructura de 𝕂 -espacio vectorial y exhibir una base. f ) Un polinomio de grado d en una variable tiene, a lo sumo, d + 1 coeficientes no nulos

o monomios. Cuántos coeficientes no nulos puede tener un polinomio de grado d en 2 variables?

g) Cuántos coeficientes no nulos puede tener un polinomio homogéneo de grado d en n variables?

h) Cuántos coeficientes no nulos puede tener un polinomio cualquiera de grado d en n variables?

i) Cuál es la dimensión del 𝕂 -espacio vectorial 𝕂[X_{1}, …, X_{n}]_{≤d} = {f ∈ 𝕂[X_{1}, …, X_{n}] : f = 0 ó grf ≤ d}?

35. Caracterizar los anillos cocientes:

ℝ[X, Y, Z]/< X, Y > ℝ[X, Y, Z]/< X − Y_{5} > ℝ[X, Y, Z]/< Y − Z_{3}, Z − X_{3} >

36. Mostrar que X^{2} + Y^{2} − 1 y XT − Y Z son irreducibles en ℚ[X, Y] y ℚ[X, Y, Z, T] respectivamente.

37. Sea I =< Y + X^{2} − 1, XY − 2Y^{2} + 2Y >⊂ ℝ[X, Y]. Decidir si ℝ[X, Y]/I es un cuerpo.