1^{∘} cuatrimestre 2006

Álgebra II Práctica 6

En esta práctica, un A -módulo será un A -módulo a izquierda.

1. Determinar si M es un A -módulo en cada uno de los siguientes casos:

a) A = ℤ_{n}, M = ℤ_{m}, n, m ∈ ℕ, con la suma usual de ℤ_{m} y la acción a · x = r_{m}(ax) .

b) A = ℤ, M = M_{2}(ℂ) , con la suma usual de matrices y la acción

a · ( \begin{matrix}z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a · z_{11} & a · z_{12} \\ a · z_{21} & a · z_{22} \end{matrix} ) .

c) A = ℝ[X] , M = ℝ^{n}, con la suma usual de ℝ^{n} y la acción

f · (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = (f(1).x_{1}, f(0).x_{2}, …, f(0).x_{n}).

d) A = M_{n}(ℤ) , M = ℤ, con la suma usual de ℤ y la acción a · m = det(a) · m.

2. Sean A y B anillos, M un B -módulo y φ : A ⟶ B un morfismo de anillos. Probar que la acción a ·_{φ} x = φ(a) · x define una estructura de A -módulo sobre M .

3. Determinar si S es un submódulo del A -módulo M en cada uno de los siguientes casos: a) A = ℚ , M = M_{n}(ℚ) , S = {(a_{ij}) ∈ M_{n}(ℚ) : a_{ii} = 0 ∀ 1 ≤ i ≤ n}.

b) A = ℤ , M = M_{n}(ℤ) , S = {(a_{ij}) ∈ M_{n}(ℤ) : det(a_{ij}) = 0}

c) A un anillo cualquiera , M = A^{n} , S = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ A^{n} : x_{1} + ⋯ + x_{n} = 0}.

d) A un anillo cualquiera , M = A[X] , S = {f ∈ A[X] : f = 0 ó gr(f) ≤ n} (n ∈ ℕ).

4. Sean A un anillo conmutativo, a ∈ A^{n×m} y f_{a} : A^{m×1} → A^{n×1} la aplicación definida por f_{a}(x) = a · x, donde · es el producto de matrices. Probar que es un morfismo de A -módulos.

5. Sean A un anillo conmutativo y M un A -módulo. En cada uno de los siguientes casos, probar que f es un morfismo de A -módulos, hallar su núcleo, su imagen y determinar si es monomorfismo, epimorfismo, sección, retracción y/o isomorfismo:

a) f : M^{n} ⟶ M^{2} , f(x) = (x_{1} + x_{n}, x_{n}) (n > 2).

b) f : M^{n} ⟶ M^{n}, f(x) = (x_{1}, x_{1} + x_{2}, …, x_{1} + ⋯ + x_{n}).

c) Si n ≤ m, f : M^{n} ⟶ M^{m}, f(x) = (x_{1}, …, x_{n}, 0, … 0).

d) Si n ≤ m, f : M^{m} ⟶ M^{n}, f(x) = (x_{1}, …, x_{n}). e) Fijo a ∈ A, f : A[X] ⟶ A, f(g) = g(a). f ) f : M_{n}(A) ⟶ A^{n}, f(a) = (a_{11}, …, a_{nn}) si a = (a_{ij}) .

g) f : ℤ → ℤ, f(x) = 2x.

6. Si M y N son conjuntos y f : M ⟶ N es una función, el conjunto

Γ(f) = {(x, f(x)) : x ∈ M}

se llama el gráfico de f . Probar que si M y N son A -módulos entonces f es un morfismo de A -módulos si y sólo si Γ(f) es un submódulo de M ⊕ N.

7. Sean A un anillo y M un A -módulo. Caracterizar el módulo cociente N/S en cada uno de los siguientes casos:

a) N = M^{n}, S = {x ∈ N : x_{1} + ⋯ + x_{n} = 0}.

b) N = M^{n} (n > 2) , S = {x ∈ N : x_{1} = x_{n} y x_{2} = 0}.

c) N = A[X] , S = {f ∈ A[X] : f(1) = 0}.

d) N = M_{n}(A) , S = {(a_{ij} ∈ M_{n}(A) : a_{ii} = 0 ∀ 1 ≤ i ≤ n}.

e) N = M^{J} , S = {x ∈ N : x_{i} = 0 ∀ i ∈ I}, donde I es un subconjunto fijo de J.

8. Sean V y W dos ℚ -espacios vectoriales y sea f : V ⟶ W una aplicación. Probar que f es una transformación lineal de ℚ -espacios vectoriales si, y sólo si, f : (V , +) ⟶ (W , +) es un morfismo de grupos.

9. Sea A un anillo y sean M y N dos A -módulos. Probar que

a) Hom_{A}(M, N) con la suma definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x) es un grupo abeliano.

b) Si A es conmutativo, la acción (a.f)(x) = a.f(x) define sobre el grupo abeliano Hom_{A}(M, N) una estructura de A -módulo. Para A no necesariamente conmutativo, esta acción define sobre Hom_{A}(M, N) una estructura de Z(A) -módulo.

10. Sea A un anillo conmutativo. Dado un A -módulo M se llama dual de M al A -módulo M^{∗} = Hom_{A}(M, A) . Probar que la aplicación ψ : M ⟶ M^{∗∗} definida por ψ(x)(f) = f(x) es un morfismo de A -módulos y que ker(ψ) = ⋂_{f∈M^{∗}} ker(f).

11. Sea M un A -módulo. Probar que Hom_{A}(A, M) ≃ M como Z(A) -módulos.

12. Probar que Hom_{ℤ}(ℚ , ℚ) ≃ ℚ.

13. Probar que un A -módulo M es simple si, y sólo si, M ≠ {0} y A.x = M ∀ x ∈ M tal que x ≠ 0.

14. Sea f : M ⟶ N un morfismo de A -módulos. Probar que:

a) Si M es simple entonces f = 0 o f es un monomorfismo.

b) Si N es simple entonces f = 0 o f es un epimorfismo.

c) Si M y N son simples entonces f = 0 o f es un isomorfismo.

15. Sea M un A -módulo simple. Probar que el anillo End_{A}(M) es un anillo de división.