1^{∘} cuatrimestre de 2006

Álgebra II Práctica 7

Sistemas de generadores.

1. Probar que

a) Todo módulo de tipo finito posee un sistema de generadores minimal.

b) Para todo n ∈ ℕ existe en ℤ un sistema de generadores minimal con n elementos.

2. Sea A un dominio íntegro y sea a ∈ M_{n}(A) . Sea v_{j} = (a_{1j}, …, a_{nj}) ∈ A^{n}. Probar que

a) {v_{1}, …, v_{n}} es linealmente independiente si y sólo si det(A) ≠ 0.

b) {v_{1}, …, v_{n}} es un sistema de generadores de A^{n} si y sólo si det(A) ∈ U(A).

Sumas directas.

3. Probar que no existe un epimorfismo de grupos

a) de ℤ_{p^{∞}} en ℤ_{p^{∞}} ⊕ ℤ_{p}

b) de ℚ en ℤ_{p^{∞}} ⊕ ℤ_{p^{∞}}

c) de ℚ/ ℤ en ℤ_{p^{∞}} ⊕ ℤ_{n}

4. Sea p un primo. Probar que no existe una sección

a) de ℤ_{p} en ℤ_{p^{2}} ⊕ ℤ_{p^{2}}

b) de ℤ_{p} ⊕ ℤ_{p} en ℤ_{p} ⊕ ℤ_{p^{2}}

c) de ℤ ⊕ ℤ_{p} en ℤ_{p} ⊕ ℤ_{p^{2}}

5. Calcular

a) Hom(⨁_{n∈ℕ} ℤ_{n} , ℤ_{p})

b) Hom(⨁_{p primo} ℤ_{p} , G_{3})

6. Sea G un grupo abeliano y sean S y T subgrupos de G tales que G ≅ S ⊕ T . Probar que si existe un monomorfismo de ℚ en G entonces existe un monomorfismo de ℚ en S o existe un monomorfismo de ℚ en T .

7. a) Sea e : ℤ_{n} ⟶ ℤ_{n} un morfismo de grupos. Probar que e es un proyector si y sólo si ∃ a ∈ ℤ_{n} tal que n | a^{2} − a y e(x) = a.x para todo x ∈ ℤ_{n} b) Sea a ∈ ℤ_{n}, sea f : ℤ_{n} ⟶ ℤ_{n} el morfismo definido por f(x) = a.x y sea d = (a, n) .

Probar que Ker(f) =< \frac{n}{d} > y que Im(f) =< d >

c) Sean n, d ∈ ℤ. Probar que si n = p_{1}^{α_{1}} … p_{r}^{α_{r}} , con p_{1}, …, p_{r} primos positivos distintos y α_{1}, …, α_{r} ∈ ℕ entonces d = (a, n) para algún a ∈ ℤ tal que n divide a a^{2} − a si, y sólo si, d = p_{1}^{β_{1}.α_{1}} … p_{r}^{β_{r}.α_{r}} con β_{i} ∈ ℕ_{0} , 0 ≤ β_{i} ≤ 1

d) Encontrar los sumandos directos de ℤ_{n} y, para cada uno de ellos, determinar un suplemento

Anillos y módulos noetherianos y artinianos.

8. Sea A un anillo e I un ideal bilátero. Probar que si A es un anillo noetheriano entonces A/I también lo es.

9. Probar que los ideales de M_{n}(A) están en correspondencia biyectiva con los A -submódulos de A^{n}. Deducir que si A es un anillo noetheriano, M_{n}(A) también.

10. Sean A un anillo conmutativo y S ⊂ A multiplicativamente cerrado con 1 ∈ S. Probar que si A es noetheriano entonces A_{S} es noetheriano.

11. Sean G un grupo finito y 𝕂 un cuerpo. Probar que 𝕂[G] es noetheriano y artiniano.

12. Dar un ejemplo de

a) Un A -módulo finitamente generado que no sea noetheriano.

b) Un A -módulo tal que todo submódulo propio sea finitamente generado y que no sea noetheriano.

13. Probar que G_{p^{∞}} es un ℤ -módulo artiniano y no noetheriano.

14. Probar que

a) Un 𝕂 -espacio vectorial V es noetheriano si y sólo si dim_{𝕂}(V) < ∞.

b) ℤ y 𝕂[X] son anillos noetherianos.

c) 𝕂[X_{1}, X_{2}, ⋯ X_{n}] es un anillo noetheriano.

d) Sea d ∈ ℤ libre de cuadrados. Probar que ℤ[\sqrt{d}] es un anillo noetheriano.

Torsión.

15. Sea A un anillo y M un A -módulo. Decidir si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa: a) Si M es libre, entonces es sin torsión.

b) Si A es íntegro entonces M libre ⇒ M sin torsión.

c) Si f : M ⟶ N es un morfismo de A -módulos y M es de torsión entonces Im(f) es de torsión.

d) Si f : M ⟶ N es un morfismo de A -módulos y M es sin torsión entonces Im(f) es sin torsión.

e) Si A es conmutativo y N es sin torsión entonces Hom_{A}(M, N) es sin torsión. f ) Si A es conmutativo, M es de torsión y N es sin torsión entonces Hom_{A}(M, N) = 0 .

16. Calcular t (ℝ/ ℤ ).

17. Sea A un dominio principal que no es un cuerpo y sea M un A -módulo. Probar:

a) Sea p ∈ A un irreducible y a ∈ A − {0}. Entonces (A/ < a >)[p] ≃ A/ < p^{n} > donde n = máx{k ∈ ℕ_{0} / p^{k}|a}.

b) M es simple ⟺ ∃ p ∈ A irreducible tal que M ≃ A/ < p >.

c) M es un A -módulo sin torsión ⟺ Hom_{A}(S, M) = 0 para todo A -módulo simple S.

18. Sea A un dominio principal y sea M un A -módulo de tipo finito (es decir finitamente generado). Probar:

a) M es de torsión ⟺ Hom_{A}(M, A) = 0 .

b) M es indescomponible (es decir, no tiene sumandos directos propios) ⟺ M ≃ A o ∃ p ∈ A irreducible y n ∈ ℕ tales que M ≃ A/ < p^{n} >.

19. Sea A un dominio principal y sea M un A -módulo. Probar:

a) Si M es de tipo finito y S es un submódulo libre de M tal que M/S es sin torsión, entonces M es libre.

b) Si M no es de torsión y M/S es de tipo finito con torsión para todo submódulo S ≠ 0 de M , entonces M ≃ A. Análogamente, si G es un grupo infinito tal que todo subgrupo no nulo tiene índice finito, G ≃ ℤ.

Producto tensorial.

20. Sea M un A -módulo. Probar que A ⊗_{A} M ≅ M .

21. Sean {M_{i} : i ∈ I} y N A -módulos. Probar que (⊕_{i}M_{i}) ⊗ N ≅ ⊕_{i}(M_{i} ⊗ N) .

22. Sea A conmutativo y S ⊂ A un conjunto multiplicativamente cerrado que contiene a 1. Probar que A_{S} ⊗_{A} M ≅ M_{S}.

23. Sea I un ideal de A. Probar que A/I ⊗_{A} M ≅ M/IM .