1^{∘} cuatrimestre 2006

Álgebra II Práctica 8

Teorema de estructura para dominios de ideales principales

1. Sea p un primo positivo. Clasificar todos los grupos abelianos de orden p^{3} , p^{4} y p^{5} .

2. Clasificar los grupos abelianos de orden 18, 45, 100 y 180.

3. a) Sea G un grupo abeliano finito y sea p un primo positivo que divide al orden de G.

Probar que el número de elementos de orden p en G es coprimo con p.

b) Para cada grupo abeliano G de orden p^{2}q^{2} (donde p y q son primos distintos) determinar cuántos elementos de orden pq y cuántos elementos de orden pq^{2} hay en G.

4. Caracterizar los grupos abelianos finitamente generados tales que:

a) Todo subgrupo propio de G es cíclico.

b) Todo subgrupo propio de G es de orden primo.

c) G posee exactamente 2 subgrupos propios no nulos.

d) G posee exactamente 3 subgrupos propios no nulos.

e) Todo subgrupo propio no nulo de G es maximal.

f ) Para todo par de subgrupos S y T de G, S ⊆ T o T ⊆ S.

g) El orden de todo elemento no nulo de G es primo.

h) G/ S es cíclico para todo subgrupo S no nulo de G.

i) Todo par de subgrupos propios no nulos son isomorfos.

5. Calcular los factores invariantes (coeficientes de estructura) de los siguientes grupos abelianos:

a) ℤ_{4} ⊕ ℤ_{6} ⊕ ℤ_{9} .

b) ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2} ⊕ ℤ_{8} ⊕ ℤ_{14} .

c) ℤ_{2} ⊕ ℤ ⊕ ℤ_{49} ⊕ ℤ.

d) ℤ_{12} ⊕ ℤ_{21} ⊕ ℤ ⊕ ℤ ⊕ ℤ_{20} ⊕ ℤ_{9} ⊕ ℤ_{7} .

e) G un grupo abeliano de orden 36 que tiene exactamente 2 elementos de orden 3 y que no tiene elementos de orden 4.

f ) G un grupo abeliano de orden 225 que tiene por lo menos 40 elementos de orden 15 y tal que todo subgrupo de orden 9 de G es isomorfo a ℤ_{3} ⊕ ℤ_{3}.

6. Determinar los factores invariantes de los siguientes grupos abelianos dados por generadores y relaciones:

a) G =< a, b, c >; 2a + 3b = 0 ; 2a + 4c = 0

b) G =< a, b, c >; a = 3b; a = 3c

c) G =< a, b, c >; 3a = −c; 3a = 3c − 8b

d) G ==< a, b, c >; 3a = b; b = 3c

7. Calcular los coeficientes de estructura de los siguientes cocientes:

a) ℤ^{4}/S con S = {m ∈ ℤ^{4} / m_{1} + m_{2} + m_{3} + m_{4} = 0, m_{1} + m_{2} − 2m_{3} = 0}.

b) ℤ^{3}/S con S = {m ∈ ℤ^{3} / m_{1} es par, m_{1} + 5m_{2} − m_{3} = 0}.

c) ℤ^{3}/S con S = {m ∈ ℤ^{3} / m_{1} = m_{2} + m_{3} es par, 3|m_{3}}.

8. Sean p, q y r primos positivos. Determinar la cantidad de grupos no isomorfos de orden n, en cada uno de los siguientes casos:

a) n = p^{6}q^{3}r.

b) n = p^{2}q^{4}r^{5} .

c) n = p^{3}q^{4} .

9. a) Sea G un grupo abeliano de orden n. Probar que si d es un divisor de n, G posee

subgrupos y grupos cocientes de orden d.

b) Sea n ∈ ℕ. ¿Para qué divisores d de n existe un grupo abeliano de orden n y exponente d?

c) Caracterizar los grupos abelianos finitos de orden menor o igual que 100 de exponente 9 , 20 y 21 .

d) Sea G un grupo abeliano y sea x ∈ G un elemento tal que ord (x) = exp (G) . Probar que < x > es un sumando directo de G.

10. Caracterizar todos los ℤ[i] -módulos de 5, 6, 21 y 65 elementos.

11. Sea V un ℂ -espacio vectorial de dimensión finita, y f : V → V ℂ -lineal. Ver que el ℂ[X] - módulo inducido (V, f) es de torsión, y que cada bloques de Jordan de f se corresponde con un sumando directo en la descomposición de (V, f) que da el teorema de estructuras. Más aún, un bloque de tamaño n y autovalor λ se corresponde con un sumando de la forma ℂ[X]/(X − λ)^{n}.

12. Caracterizar los ℝ[X] -módulos de dimensión 1,2 y 3 sobre ℝ.

Teorema de estructura para anillos semisimples

13. Sea K un cuerpo. Probar que K × K es semisimple.

14. Probar que el anillo de matrices triangulares superiores con coeficientes en un cuerpo no es semisimple.

15. Descomponer ℝ[C_{3}] y ℝ[C_{4}] como producto de matrices con coeficientes en un álgebra de división sobre ℝ.

16. Descomponer ℂ[C_{n}] y ℂ[S_{3}] como producto de matrices con coeficientes en ℂ.

17. Sea G un grupo finito. Probar que ℂ[G] ≅ ∏_{i=1}^{r} M_{n_{i}}(ℂ) con r igual a la cantidad de clases de conjugación de G.