Álgebra III

Práctica 2 – Primer Cuatrimestre de 2007

Extensiones de cuerpos, polinomios minimales, elementos algebraicos y trascendentes

Ejercicio 1. Sea E/K una extensión, y sea x ∈ E algebraico sobre K. Dada una subextensión F/K de E/K, probar que f(x, F) divide a f(x, K). Dar ejemplos con f(x, F) = f(x, K) y con f(x, F) ≠ f(x, K).

Ejercicio 2. Calcular los siguientes polinomios minimales:

i) f(\sqrt[4]{2}, ℚ)  ii) f (\sqrt[4]{2}, ℚ[\sqrt{2} ])  iii) f (\sqrt[4]{2}, ℚ[\sqrt[4]{2} ])
iv) f (\sqrt[4]{−1}, ℚ )  v) f (\sqrt[4]{−1}, ℚ[i] )  vi) f (w, ℝ) con w ∈ ℂ

Ejercicio 3. Calcular:

i) [ℚ[\sqrt{2}, i] : ℚ]
ii) [ℚ[\sqrt[3]{3}, \sqrt[5]{7} ] : ℚ]

Ejercicio 4.

i) Calcular [ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{3} ] : ℚ] y [ℚ[\sqrt{2} + \sqrt{3} ] : ℚ]. Deducir que ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{3} ] = ℚ[\sqrt{2} + \sqrt{3} ].

ii) Hallar α ∈ ℂ tal que ℚ[α] = ℚ[\sqrt[3]{2}, \sqrt{3} ]. Calcular f(α, ℚ).

Ejercicio 5. Probar que ℚ[\sqrt{2 − \sqrt{3}} ] = ℚ[\sqrt{2 + \sqrt{3}} ]. Calcular [ℚ[\sqrt{2 − \sqrt{3}} ] : ℚ].

Ejercicio 6. Sea E/K una extensión. Probar que E/K es algebraica si y sólo si todo anillo A, con K ⊆ A ⊆ E, es un cuerpo.

Ejercicio 7. Sea K = ℤ_{3} × ℤ_{3} con la estructura de cuerpo del Ejercicio 11 de la Práctica 1.

i) Calcular el polinomio minimal de cada uno de los elementos de K sobre su cuerpo primo.

ii) Hallar todos los polinomios f ∈ ℤ_{3}[X] irreducibles de grado 2 y probar que para cada uno de ellos se tiene que ℤ_{3}[X]/⟨f⟩ ≃ ℤ_{3} × ℤ_{3}.

Ejercicio 8. Sea a ∈ ℤ[i] irreducible y sea K el cuerpo primo de ℤ[i]/⟨a⟩. Calcular [ℤ[i]/⟨a⟩ : K].

Ejercicio 9. Sea F/K una extensión de cuerpos de grado impar. Probar que si F = K[u] entonces F = K[u^{2}].

Ejercicio 10. Sea n ∈ ℕ, (n : 6) = 1, y sea F/ℚ una subextensión de ℂ/ℚ de grado n. Probar que [F [\sqrt[3]{2}, i] : F ] = 6.

Ejercicio 11. Sean L/K y M/K dos subextensiones de grado finito de una extensión F/K. Probar que:

i) Si mcd([L : K], [M : K]) = 1, entonces [L.M : K] = [L : K] . [M : K].

ii) Si [L.M : K] = [L : K] . [M : K] entonces L ∩ M = K. ¿Vale la recíproca?

Ejercicio 12.

i) Sea K un cuerpo de característica ≠ 2. Caracterizar las extensiones cuadráticas (i.e. de grado 2) de K.

ii) Sea f = X^{2} + X + 1 ∈ ℤ_{2}[X] y sea a una raíz de f en una clausura algebraica de ℤ_{2}.

Probar que no existe b ∈ ℤ_{2}[a] tal que f(b, ℤ_{2}) = X^{2} + c para algún c ∈ ℤ_{2}. Ejercicio 13. Dado b ∈ ℚ, sea a_{b} una raíz del polinomio X^{2} + bX + b^{2}. Describir las posibles extensiones ℚ[a_{b}] de ℚ y determinar [ℚ[a_{b}] : ℚ]. Ejercicio 14.

i) Sea p ∈ ℕ primo. Calcular f (ξ_{p}, ℚ) y deducir [ℚ[ξ_{p}] : ℚ].

ii) Calcular f (ξ_{6}, ℚ). iii) Probar que f (ξ_{n}, ℚ) = 1 + X + X^{2} + ⋯ + X^{n−1} si y sólo si n es primo. Ejercicio 15. Probar que f(ξ_{5} + ξ_{5}^{4}, ℚ) = X^{2} + X − 1. Deducir que ℚ [ξ_{5} ] admite una subextensión cuadrática y caracterizarla. Ejercicio 16. Sea p ∈ ℕ primo y sea a ∉ ℚ^{p}.

i) Probar que f (\sqrt[p]{a}, ℚ) = X^{p} − a.

ii) Sea K ⊆ ℂ el mínimo cuerpo que contiene a todas las raíces de f (\sqrt[p]{a}, ℚ). Caracterizar

K y calcular [K : ℚ] y [K : ℚ [\sqrt[p]{a}] ]. Ejercicio 17. Se define ℚ_{alg} = {x ∈ ℂ : x es algebraico sobre ℚ}. Probar que ℚ_{alg}/ℚ es una extensión algebraica que no es finita. Ejercicio 18. Sea {p_{i}}_{i∈ℕ} una numeración de los primos positivos.

i) (a) Probar que ∀ a ∈ ℚ [\sqrt{p_{1}}, \sqrt{p_{2}}, …, \sqrt{p_{n}} ] con a ∉ ℚ y a^{2} ∈ ℚ, existen b ∈ ℚ y enteros

1 ≤ i_{1} < ⋯ < i_{k} ≤ n tales que a = b\sqrt{p_{i_{1}}} … \sqrt{p_{i_{k}}}.

(b) Calcular [ℚ [\sqrt{p_{1}}, \sqrt{p_{2}}, …, \sqrt{p_{n}} ] : ℚ ].

(c) Calcular la cantidad de subextensiones de grado 2 de ℚ [\sqrt{p_{1}}, \sqrt{p_{2}}, …, \sqrt{p_{n}} ] /ℚ. ii) Hallar [ℚ [\sqrt{p_{i}} ]_{i∈ℕ} : ℚ ]. iii) ¿Existen α_{1}, …, α_{n} ∈ ℂ tales que ℚ [\sqrt{p_{i}} ]_{i∈ℕ} = ℚ[α_{1}, …, α_{n}]? iv) Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado tal que ℚ ⊆ K ⊆ ℂ. Deducir [K : ℚ].

Ejercicio 19. Sea E/K una extensión algebraica de grado infinito. Probar que existen subextensiones de E/K de grado finito arbitrariamente grande. ¿Qué pasa si E/K es puramente trascendente?

Ejercicio 20.

i) Probar que un cuerpo algebraicamente cerrado es infinito.

ii) Sea E/K una extensión algebraica. Calcular el cardinal de E en función del cardinal de

K. iii) Deducir que para todo cardinal infinito a existe un cuerpo algebraicamente cerrado de

cardinal a. Ejercicio 21. Sea K un cuerpo.

i) Sea t trascendente sobre K. Para cada n ∈ ℕ, calcular f (t, K(t^{n})). Deducir [K(t) : K(t^{n})]. ii) Sea {t_{1}, t_{2}, …, t_{n}} una familia algebraicamente independiente sobre K y sean e_{1}, e_{2}, …, e_{n}

números naturales. Calcular [K (t_{1}, …, t_{n}) : K (t_{1}^{e_{1}}, …, t_{n}^{e_{n}} ) ]. Ejercicio 22. Sea K un cuerpo y sea f ∈ K[X] − K. Probar que [K(X) : K(f)] = gr(f). Ejercicio 23. Sea E/K una extensión de cuerpos y sean x, y ∈ E. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar.

i) Si x e y son trascendentes sobre K entonces x + y o x. y es trascendente sobre K.

ii) Si x es trascendente e y es algebraico sobre K entonces x + y es trascendente sobre K. iii) Si x es trascendente e y es algebraico sobre K entonces x. y es trascendente sobre K. iv) Si x es trascendente sobre K e y es trascendente sobre K(x) entonces { x, y } es algebraica-

mente independiente sobre K.

v) Si x e y son trascendentes sobre K entonces { x, y } es algebraicamente independiente sobre

K. Ejercicio 24.

i) Sea d ∈ ℤ libre de cuadrados. Probar que hay sólo dos morfismos de cuerpos f : ℚ[\sqrt{d} ] → ℂ y que en cada caso f( ℚ[\sqrt{d} ] ) ⊆ ℚ[\sqrt{d} ] (de hecho, vale la igualdad).

ii) Sea d ∈ ℤ libre de cubos.

(a) Probar que hay sólo tres morfismos de cuerpos f : ℚ[\sqrt[3]{d} ] → ℂ pero, en general, f( ℚ[\sqrt[3]{d} ] ) ⊈ ℚ[\sqrt[3]{d} ].

(b) Considerar ℚ[\sqrt[3]{d}, ξ_{3}]. ¿Qué sucede en este caso?