Álgebra III

Práctica 6 – Primer Cuatrimestre de 2007

Localización, propiedades locales y extensiones de anillos^{1}

Ejercicio 1. Sea A un anillo y sea x ∈ A un elemento nilpotente.

i) Probar que 1 + x ∈ U(A).

ii) Deducir que si u ∈ U(A) y x ∈ A es nilpotente, entonces u + x ∈ U(A).

Ejercicio 2. Sea A un anillo y sea f = a_{0} + a_{1}X + ⋯ + a_{n}X^{n} ∈ A[X]. Probar que: i) f ∈ U(A[X]) si y sólo si a_{0} ∈ U(A) y a_{i} es nilpotente ∀ 1 ≤ i ≤ n. ii) f es nilpotente si y sólo si a_{i} es nilpotente ∀ 0 ≤ i ≤ n. iii) f es divisor de cero en A[X] si y sólo si existe a ∈ A − {0} tal que a · f = 0.

Ejercicio 3. Sea A un anillo. Probar que el radical de Jacobson del anillo A[X] es igual a su nilradical.

Ejercicio 4.

i) Sea O un anillo local, y sea e ∈ O tal que e^{2} = e (un elemento e que satisface esta igualdad se llama un idempotente del anillo). Probar que e = 0 o e = 1.

ii) Dar un ejemplo de un anillo con exactamente 2 ideales maximales que posea idempotentes no triviales.

Ejercicio 5. Sea A un anillo y sea S ⊂ A un conjunto multiplicativamente cerrado tal que 0 ∉ S. Sea Σ = {I ⊂ A / I ideal, I ∩ S = ∅}.

i) Probar que Σ tiene elementos maximales con respecto a la inclusión.

ii) Sea I ∈ Σ maximal con respecto a la inclusión. Probar que I es un ideal primo de A.

Ejercicio 6. Sean M un A-módulo finitamente generado, N un submódulo de M e I un ideal de A contenido en el radical de Jacobson de A. Probar que si M = N + I M, entonces N = M.

Ejercicio 7. Sean A un anillo, M un A-módulo finitamente generado y Φ : M → M un morfismo. Probar que si Φ es un epimorfismo, entonces Φ es un isomorfismo. (Sugerencia: M tiene una estructura de A[X]-módulo definida por X · m = Φ(m).)

1Nota: En esta práctica la palabra anillo significará anillo conmutativo con identidad 1 ≠ 0.

Ejercicio 8. Sea O un anillo local con ideal maximal 𝔐, y sea M un O-módulo finitamente generado.

i) Sean x_{1}, …, x_{n} ∈ M tales que {x̄_{1}, …, x̄_{n}} es un sistema de generadores de M/𝔐M como O/𝔐-espacio vectorial. Probar que {x_{1}, …, x_{n}} es un sistema de generadores de M.

ii) Deducir que dos sistemas de generadores minimales de M tienen la misma cantidad de elementos.

Ejercicio 9. Sea A un subanillo de un anillo B tal que B es entero sobre A, y sea f : A → 𝕂 un homomorfismo de A en un cuerpo algebraicamente cerrado 𝕂. Probar que f se puede extender a un homomorfismo de B en 𝕂.

Ejercicio 10. Sea A ⊆ B una extensión entera de anillos. Sea 𝔑 un ideal maximal de B y sea 𝔐 = 𝔑 ∩ A el ideal maximal correspondiente de A. ¿Es B_{𝔑} necesariamente entero sobre A_{𝔐}?

Ejercicio 11. Sea A ⊆ B una extensión entera de anillos. Probar que:

i) Si x ∈ A es una unidad en B, entonces es una unidad en A.

ii) El radical de Jacobson de A es la contracción del radical de Jacobson de B.

Ejercicio 12. Sea A un subanillo de un anillo B, tal que B − A es cerrado por multiplicación. Probar que A es íntegramente cerrado en B.

Ejercicio 13. Probar que todo dominio de factorización única es íntegramente cerrado.

Ejercicio 14. Sea k un cuerpo y sean x, y indeterminadas sobre k.

i) Probar que k[x, y]/(xy − 1) es íntegramente cerrado.

ii) Verificar que k[x, y]/(x^{2} − y^{3}) no es íntegramente cerrado.

Ejercicio 15. Sea A un subanillo de un dominio íntegro B, y sea C la clausura entera de A en B. Sean f, g ∈ B[X] polinomios mónicos tales que el producto fg ∈ C[X]. Probar que f y g están en C[X].

Ejercicio 16. Sea A ⊆ B una extensión entera de anillos. Sean P_{1} ⊊ P_{2} ⊊ … ⊊ P_{n} una cadena de ideales primos de A, y Q_{1} ⊊ Q_{2} ⊊ … ⊊ Q_{m} (m < n) una cadena de ideales primos de B, tales que Q_{i} ∩ A = P_{i} ∀ 1 ≤ i ≤ m. Probar que existen ideales primos Q_{m+1}, …, Q_{n} ⊆ B tales que Q_{m} ⊊ Q_{m+1} ⊊ … ⊊ Q_{n} y Q_{i} ∩ A = P_{i} ∀ m + 1 ≤ i ≤ n.