Álgebra III

Práctica 8 – Primer Cuatrimestre de 2007

Ejercicio 1. Sean K un cuerpo, C/K una clausura algebraica de K y f ∈ K[X] un polinomio mónico de grado n ≥ 1. Si f = (X − a_{1}) … (X − a_{n}) (con a_{i} ∈ C) se define el discriminante de f en la forma:

Δ(f) = ∏_{i<j}(a_{i} − a_{j})^{2}

i) Probar que:

a) Si f = X^{2} + bX + c, entonces Δ(f) = b^{2} − 4c.

b) Si f = X^{3} + bX + c, entonces Δ(f) = −4b^{3} − 27c^{2}.

ii) Sea E/ℚ una extensión de grado n de ℚ. Sea a tal que E = ℚ(a) y sea f = f(a, ℚ). Probar que Δ(f) = (−1)^{\frac{n(n−1)}{2}} N_{E/ℚ}(f′(a)), donde f′ es el polinomio derivado de f.

Ejercicio 2. Sea n ∈ ℕ, n ≥ 2. Probar que si f = X^{n} + bX + c ∈ ℚ[X], entonces Δ(f) = (−1)^{\frac{n(n−1)}{2}} (n^{n}c^{n−1} + (1 − n)^{n−1}b^{n}).

Ejercicio 3. Sea E/ℚ un cuerpo de descomposición de X^{3} + X + 1. Probar que el polinomio X^{4} − 6X^{2} + 40 es reducible en E[X].

Ejercicio 4. Sea p ∈ ℕ primo, p ≠ 2. Determinar la única subextensión cuadrática de ℚ(ξ_{p})/ℚ.

Ejercicio 5.

i) Demostrar que toda extensión cuadrática de ℚ está contenida en una extensión ciclotómica.

ii) En cada uno de los siguientes casos, exhibir una extensión ciclotómica E/ℚ tal que F ⊆ E:

a) F = ℚ[\sqrt{6} ]  c) F = ℚ[\sqrt{−21} ]
b) F = ℚ [\sqrt{2} , \sqrt{7} ]  d) F/ℚ cuerpo de descomposición de X^{10} + 3X^{8} − X^{2} − 3

Ejercicio 6. Sea p ∈ ℤ primo y sea E un cuerpo de descomposición del polinomio f = X^{5} + p X^{3} + p sobre ℚ. Probar que G(E, ℚ) contiene subgrupos de orden 2 no invariantes.

Ejercicio 7. Sean E = K(t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}) y F = K(s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}), donde {t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}} es una familia algebraicamente independiente sobre K y {s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}} es el conjunto de polinomios simétricos elementales en t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}.

i) Probar que F (t_{1} + t_{2})/F es una subextensión no normal de E/F y calcular su grado.

ii) Sean i, j tales que 1 ≤ i < j ≤ 4. Probar que t_{i} + t_{j} ∈ F (t_{1} + t_{2}) si y sólo si i = 1, j = 2 o i = 3, j = 4.

iii) Caracterizar G(F (t_{1} + t_{2})/F).

Ejercicio 8. Sea {t_{1}, …, t_{n}} una familia algebraicamente independiente sobre un cuerpo K y sea {s_{1}, …, s_{n}} el conjunto de los polinomios simétricos elementales en {t_{1}, …, t_{n}}.

i) Caracterizar las subextensiones de grado 2 de K(t_{1}, …, t_{n})/K(s_{1}, …, s_{n}).

ii) Sean a_{1}, …, a_{n} ∈ ℕ. Probar que t_{1}^{a_{1}} + t_{2}^{a_{2}} + ⋯ + t_{n}^{a_{n}} genera K(t_{1}, …, t_{n})/K(s_{1}, …, s_{n}) si y sólo si a_{i} ≠ a_{j} ∀ i ≠ j.

Ejercicio 9. Probar que:

i) Todo grupo abeliano es resoluble.

ii) Todo p-grupo es resoluble.

iii) D_{n} es resoluble.

iv) S_{n} es resoluble si y sólo si n ≤ 4.

Ejercicio 10. Mostrar explícitamente que las siguientes extensiones son radicales:

i) ℚ(\sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}, i + \sqrt{3})/ℚ

ii) E/ℚ cuerpo de descomposición de f = (X^{4} − 2)(X^{2} − 5).

iii) K(t_{1}, t_{2})/K(s_{1}, s_{2}), donde K es un cuerpo de característica 0, {t_{1}, t_{2}} una familia algebraicamente independiente sobre K y {s_{1}, s_{2}} los polinomios simétricos elementales.

Ejercicio 11. Sea K un cuerpo. Sea f ∈ K[X] un polinomio de grado n y sea E un cuerpo de descomposición de f sobre K. Probar que si G(E, K) ≃ S_{n}, entonces f es irreducible en K[X].

Ejercicio 12.

i) Sea p ∈ ℕ primo. Sea H ⊂ S_{p} un subgrupo que contiene una transposición y una permutación de orden p. Probar que H = S_{p}.

ii) Sea f ∈ ℚ[X] irreducible de grado p primo, y sea E ⊂ ℂ cuerpo de descomposición de f. Probar que si f tiene exactamente dos raíces no reales en ℂ, entonces G(E/ℚ) ≃ S_{p}.

Ejercicio 13.

i) Sea m ∈ ℕ par, y sean a_{1} < a_{2} < ⋯ < a_{r} enteros positivos pares, con r > 1 impar. Sea f = (X^{2} + m)(X − a_{1}) … (X − a_{r}) − 2. Probar que:

(a) f es irreducible en ℚ[X].

(b) Para m suficientemente grande, f tiene exactamente dos raíces no reales en ℂ.

ii) Deducir que para cada primo p ∈ ℕ, existe una extensión galoisiana E/ℚ con grupo de Galois S_{p}.

Ejercicio 14. (Difícil)

i) Probar que el resultado del ejercicio anterior, ítem i) (b), sigue siendo válido si se suprime la hipótesis “m suficientemente grande”.

ii) Deducir que f = X^{5} − 12X^{4} + 46X^{3} − 72X^{2} + 88X − 98 ∈ ℚ[X] no es resoluble por radicales.