Álgebra III

Práctica 1 – Segundo Cuatrimestre de 2008

Nota: En esta práctica la palabra anillo significará anillo conmutativo con identidad 1 ≠ 0.

Anillos, cuerpos y morfismos Ejercicio 1. Sea A un anillo. Probar que:

i) A tiene ideales maximales.

ii) Para todo I ideal propio de A existe un ideal maximal de A que contiene a I. iii) ⋃_{M maximal} M = { x ∈ A / x no es unidad }

iv) Si M es un ideal maximal de A entonces es un ideal primo. Mostrar que no vale la vuelta.

v) P es un ideal primo de A si y sólo si A/P es un dominio íntegro.

vi) A es un cuerpo si y sólo si tiene exactamente dos ideales. vii) M es un ideal maximal de A si y sólo si A/M es un cuerpo. Ejercicio 2. Sea f : A → B un morfismo de anillos. Probar que:

i) Ker(f) es un ideal propio de A.

ii) Im(f) es un subanillo de B. iii) Si I es un ideal de B entonces f^{−1}(I) es un ideal de A que contiene a Ker(f). iv) Si I es un ideal de A y f es un epimorfismo entonces f(I) es un ideal de B.

v) Si I es un ideal primo de B entonces f^{−1}(I) es un ideal primo de A.

vi) Si f es un epimorfismo y M es un ideal maximal de B entonces f^{−1}(M) es un ideal

maximal de A. Ejercicio 3. Probar que:

i) Si 𝕂 es un cuerpo y f : 𝕂 → B es un morfismo de anillos, entonces f es inyectivo.

ii) Si A es un anillo tal que todo morfismo de anillos que tiene como conjunto de partida a A

es inyectivo, entonces A es un cuerpo. Ejercicio 4.

i) Sea D un dominio íntegro finito. Probar que D es un cuerpo.

ii) Probar que ℂ no tiene subcuerpos finitos.

Ejercicio 5. Dado b ∈ ℂ se define ℚ[b] = \{ ∑_{i=0}^{n} a_{i} b^{i} / a_{i} ∈ ℚ\}. Probar que ℚ[\sqrt{2} ], ℚ[\sqrt{3} ], ℚ[i] y ℚ[\sqrt[3]{2} ] son cuerpos.

Ejercicio 6. Caracterizar los siguientes conjuntos:

i) {f : ℝ → ℂ , f isomorfismo de cuerpos}.

ii) {f : ℂ → ℝ , f morfismo de cuerpos}. iii) {f : ℚ → ℤ_{p} , f morfismo de cuerpos}, p primo. iv) {f : ℚ → 𝕂 , f morfismo de cuerpos}, 𝕂 cuerpo fijo.

v) \{f : ℚ[\sqrt{2} ] → ℚ[\sqrt{3} ] , f morfismo de cuerpos\}.

vi) {f : ℂ → ℂ , f morfismo de cuerpos tal que f(a) = a ∀ a ∈ ℝ }. vii) {f : ℚ[i] → ℚ[i] , f morfismo de cuerpos}. vii) {f : ℚ[i] → ℚ[i] , f isomorfismo de cuerpos}. ix) {f : ℚ[i] → ℝ , f morfismo de cuerpos}.

x) {f : ℝ → ℝ , f morfismo de cuerpos}. Ejercicio 7. Sea 𝕂 un cuerpo y sea A una 𝕂-álgebra de dimensión finita. Probar que si A es un dominio íntegro, entonces es un cuerpo. Ejercicio 8. Sea A un anillo. Notamos U(A) al conjunto de los elementos de A que tienen inverso multiplicativo.

i) Probar que (U(A) , ·) es un grupo, llamado el grupo de unidades de A.

ii) Caracterizar el grupo de unidades de los siguientes anillos:

ℤ, 𝕂 (𝕂 cuerpo), ℤ[i], ℤ[\sqrt{−5} ], A[X] (A dominio íntegro), ℤ_{n}. Ejercicio 9. Sea A un dominio íntegro. Consideremos en el conjunto A × A − { 0 } la relación de equivalencia

(a, b) ∼ (c, d) ⟺ ad = bc

Definimos en K = A × A − { 0 } / ∼ las siguientes operaciones:

(a, b) + (c, d) = (ad + cb, bd)
(a, b) · (c, d) = (ac, bd)

i) Probar que (K, + , ·) es un cuerpo, llamado el cuerpo de fracciones (o de cocientes) del anillo A.

ii) Probar que f : A → K definida por f(a) = (a, 1) es un monomorfismo de anillos. iii) Sea D un anillo. Probar que son equivalentes:

(a) D es un dominio íntegro.

(b) Existe f : D → K monomorfismo de anillos para algún cuerpo K.

Ejercicio 10. Caracterizar el cuerpo de fracciones de los siguientes dominios íntegros:

ℤ; ℤ[i] ; ℤ[\sqrt{2} ] ; A[X] (A dominio íntegro) ; 𝕂 (𝕂 cuerpo).

Ejercicio 11. Sea 𝕂 un cuerpo. Se definen en 𝕂 × 𝕂 las siguientes operaciones:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

i) Probar que ( 𝕂 × 𝕂 , + , ·) es un anillo.

ii) Probar que cuando 𝕂 es ℂ, ℤ_{2} o ℤ_{5} entonces ( 𝕂 × 𝕂 , + , ·) no es un cuerpo, mientras

que si 𝕂 es ℝ, ℤ_{3} o ℤ_{7} sí lo es. iii) Probar que (a, b) ∈ 𝕂 × 𝕂 es inversible si y sólo si a^{2} + b^{2} ≠ 0. iv) Deducir que 𝕂 × 𝕂 es cuerpo si y sólo si a^{2} + b^{2} = 0 en 𝕂 ⇔ a = b = 0.

v) Probar que si p es primo, ℤ_{p} × ℤ_{p} es cuerpo si y sólo si p es de la forma 4k + 3, con k ∈ ℤ.

Dominios de factorización única, álgebras de polinomios e irreducibilidad de polinomios Ejercicio 12. Probar que si A es un dominio íntegro entonces A [(X_{i})_{i∈I}] es un dominio íntegro. Ejercicio 13. Sea A un dominio íntegro y sea a ∈ A. Probar que:

i) Si a es primo, entonces a es irreducible.

ii) Si A es DFU (dominio de factorización única), a irreducible implica a primo. iii) En A = ℤ[\sqrt{−5} ] los elementos 3, 7, 4 + \sqrt{−5}, 4 − \sqrt{−5}, 1 + 2\sqrt{−5} y 1 − 2\sqrt{−5} son

irreducibles pero no primos. ¿Conclusiones? iv) Si A es DFU entonces A [(X_{i})_{i∈I}] es DFU.

v) Si A es principal entonces A es DFU, pero no vale la recíproca.

vi) Si f : A → B es un isomorfismo de anillos, a es irreducible en A si y sólo si f(a) es

irreducible en B. Ejercicio 14. Sean A ⊆ B ⊆ C dominios íntegros. Dar un ejemplo en que A y C sean DFU y B no. Ejercicio 15. Un dominio íntegro A se dice euclideano si está provisto de un algoritmo de división, es decir, si existe g : A − {0} → ℕ ∪ {0} que satisface las dos condiciones siguientes:

• ∀ a, b ∈ A − {0}, si a | b entonces g(a) ≤ g(b).

• ∀ a, b ∈ A − {0} existen q, r ∈ A tales que a = b · q + r y r = 0 o g(r) < g(b).

Probar que:

i) ℤ, ℤ[i], 𝕂 y 𝕂[X] (𝕂 cuerpo) son anillos euclideanos.

ii) Si A es una anillo euclideano, entonces A es principal. Ejercicio 16. Sea p ∈ ℤ primo. Probar que:

i) p es irreducible en ℤ[i] si y sólo si p no es suma de dos cuadrados (en ℤ).

ii) p es suma de dos cuadrados (en ℤ) si y sólo si p = 2 o p es de la forma 4k + 1. iii) p es primo en ℤ[i] si y sólo si p es de la forma 4k + 3. Ejercicio 17. Sea A un dominio íntegro y sea P ∈ A[X]. Definimos e_{P} : A[X] → A[X] en la forma e_{P} (Q) = Q(P (X)). Probar que:

i) e_{P} es un morfismo de anillos, llamado especialización en P.

ii) Todo morfismo de anillos de A[X] en A[X] que vale la identidad sobre A es una especiali-

zación en algún P. iii) Si una especialización e_{P} es un automorfismo de A[X] entonces su inversa también es una

especialización. iv) e_{cX+b} es un automorfismo de anillos si y sólo si c ∈ U(A).

v) Si f es un automorfismo de A[X] tal que f(a) = a ∀ a ∈ A, entonces f es de la forma

e_{cX+b} para algún c ∈ U(A). Ejercicio 18.

i) Sea 𝕂 un cuerpo y sea f ∈ 𝕂[X]. Probar que 𝕂[X]/⟨f⟩ es un cuerpo si y sólo si f es irreducible.

ii) Construir un cuerpo de 9 elementos. iii) Probar que ℝ[X]/⟨X^{2} + 1⟩ ≃ ℂ. Ejercicio 19. Sea A un DFU y sea 𝕂 su cuerpo de cocientes. Probar que si f ∈ A[X] es un polinomio irreducible de grado > 0 entonces, visto como polinomio con coeficientes en 𝕂, también es irreducible. ¿Vale la recíproca? Ejercicio 20. Sea p ∈ ℕ primo, y sea Φ_{p} : ℤ[X] → ℤ_{p}[X] definida por

Φ_{p}(a_{n}X^{n} + ⋯ + a_{0}) = \overline{a}_{n}X^{n} + ⋯ + \overline{a}_{0}

donde \overline{a}_{i} denota el resto de a_{i} módulo p.

i) Probar que Φ_{p}(f) + Φ_{p}(g) ≡ Φ_{p}(f + g) (mod p) y Φ_{p}(f) · Φ_{p}(g) ≡ Φ_{p}(f · g) (mod p).

ii) Sea f ∈ ℤ[X] tal que Φ_{p}(f) ≠ 0 y gr(Φ_{p}(f)) = gr(f). Probar que si Φ_{p}(f) es irreducible en ℤ_{p}[X], entonces f no se factoriza en ℤ[X] en la forma f = g h con g, h de grado mayor o igual que 1.

Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 5

Ejercicio 21. Criterio de irreducibilidad de Eisenstein. Sea A un DFU y sea 𝕂 su cuerpo de cocientes. Sea f = ∑_{i=0}^{n} a_{i} X^{i} ∈ A[X], con n > 0. Probar que si existe un primo p ∈ A que verifica: p ∤ a_{n}, p | a_{i} ∀ 0 ≤ i ≤ n − 1 y p^{2} ∤ a_{0}, entonces f es irreducible en K[X]. Ejercicio 22. Teorema de Gauss. Sea A un DFU y sea 𝕂 su cuerpo de cocientes. Sea f = ∑_{i=0}^{n} a_{i} X^{i} ∈ A[X] con a_{0} ≠ 0. Demostrar que si p y q son elementos no nulos de A, coprimos entre sí tales que \frac{p}{q} ∈ 𝕂 es raíz de f, entonces p | a_{0} y q | a_{n} en A. Ejercicio 23. Sea p ∈ ℤ primo. Probar que:

i) (X + 1)^{p} − 1 es divisible por X y \frac{(X + 1)^{p} − 1}{X} es irreducible en ℚ[X].

ii) 1 + X + X^{2} + ⋯ + X^{p−1} es irreducible en ℚ[X]. iii) X^{n} − p es irreducible en ℚ[X] ∀ n ∈ ℕ. iv) Si a ∈ ℤ es tal que p | a pero p^{2} ∤ a, entonces X^{n} − a es irreducible en ℚ[X].

Ejercicio 24. Sea 𝕂 un cuerpo. Sea f ∈ 𝕂[X] y sea a ∈ 𝕂 una raíz de f. Probar que a es raíz múltiple de f si y sólo si es raíz de su derivado. Ejercicio 25. Probar que si f ∈ ℚ[X] es irreducible, entonces f no tiene raíces múltiples en ℂ. Ejercicio 26. Determinar todos los polinomios de grado 2, 3, 4 y 5 irreducibles en ℤ_{2}[X]. Ejercicio 27. Sean a, b ∈ ℤ.

i) Probar que X^{3} + aX^{2} + bX + 1 es reducible en ℤ[X] si y sólo si a = b o a + b = −2.

ii) Determinar condiciones necesarias y suficientes para que X^{3} + aX^{2} + bX − 1 sea reducible

en ℤ[X]. Lo mismo para X^{3} + b. Ejercicio 28. Sea 𝕂 un cuerpo y sea a ∈ 𝕂. Probar que X^{4} − a es reducible en 𝕂[X] si y sólo si a = b^{2} para algún b ∈ 𝕂 o a = −4c^{4} para algún c ∈ 𝕂. Ejercicio 29. Analizar la reducibilidad de:

i) 2X^{5} + 18X^{3} + 30X^{2} − 24; X^{4} + 4X^{2} + 10; X^{3} − X^{2} + 7X + 2 en ℚ[X] y en ℤ[X] ii) X^{4} − 4; X^{3} + X^{2} + X + 1; X^{5} − 2; X^{4} + X^{3} + 1; X^{5} + 6X^{4} + 5X^{2} − 2X + 9 en ℤ[X] iii) (X + a)^{4} + 1 en ℚ[X] (a ∈ ℚ) iv) X^{2} + Y^{2} + 1 en ℚ[X, Y]

Ejercicio 30. Sea 𝕂 un cuerpo finito de q elementos. Probar que en 𝕂[X] hay \frac{q^{2} − q}{2} polinomios mónicos irreducibles de grado 2.