Álgebra III

Práctica 4 – Segundo Cuatrimestre de 2008

Elementos primitivos y teorema de Galois

Ejercicio 1. Hallar elementos primitivos de E/ℚ, donde E es el cuerpo de descomposición del polinomio:

i) X^{3} − 2  iii) X^{4} − 2
ii) (X^{2} − 3)(X^{2} − 2)  iv) (X^{4} + 1)(X^{2} + 5)

Ejercicio 2. Hallar un elemento primitivo de E/ℤ_{2}, donde E es un cuerpo de 8 elementos.

Ejercicio 3. Sea K un cuerpo de característica p > 0 y sea { u, v } una familia algebraicamente independiente sobre K. Sean E = K(u, v) y F = K(u^{p}, v^{p}). Probar que [E : F] = p^{2} y que E/F no admite un elemento primitivo.

Ejercicio 4. Sea C una clausura algebraica de ℤ_{p} y sea q un primo distinto de p. Sea L la unión de todos los subcuerpos K de C tales que [K : ℤ_{p}] = q^{i} para algún i ∈ ℕ. Probar que [L : ℤ_{p}] = ∞ y que toda subextensión propia de L/ℤ_{p} es monógena.

Ejercicio 5. Sea E = ℂ(X). Consideremos los automorfismos f y g de E definidos por g(X) = X^{−1} y f(X) = wX, donde w es una raíz n-ésima primitiva de 1. Probar que:

i) f^{n} = g^{2} = id_{E} y fg = gf^{−1}.

ii) El subgrupo G generado por f y g es isomorfo a D_{n}.

iii) ^{G}E = ℂ(X^{n} + X^{−n}).

Ejercicio 6. Sea K un cuerpo de q elementos y sea E = K(X). Probar que:

i) |G(E/K)| = q^{3} − q

ii) G(E/K) está generado por los automorfismos f_{a}, g_{b} y h definidos por

f_{a}(X) = aX, a ∈ K − {0};  g_{b}(X) = X + b, b ∈ K;  h(X) = X^{−1}.

iii) ^{G(E/K)}E = K(Y), donde Y = \frac{(X^{q^{2}} − X)^{q+1}}{(X^{q} − X)^{q^{2}+1}} .

Ejercicio 7. Sean E/K y L/K dos extensiones finitas. Probar que si E/K y L/K son isomorfas entonces G(E/K) ≃ G(L/K). ¿Vale la recíproca?

Ejercicio 8. Caracterizar los grupos de Galois de cada uno de los cuerpos de descomposición hallados en el Ejercicio 2 de la Práctica 3.

Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 2

Ejercicio 9. Sea E = ℚ (\sqrt{2 + \sqrt{2}} ).

i) Calcular [E : ℚ]. ¿Es E/ℚ una extensión normal?

ii) Caracterizar G(E/ℚ) y las subextensiones de grado 2 de E/ℚ. Ejercicio 10. Determinar todas las subextensiones del cuerpo de descomposición del polinomio (X^{2} − 2)(X^{2} − 3)(X^{2} − 5) sobre ℚ. Ejercicio 11. Determinar todas las subextensiones de grado 2 del cuerpo de descomposición del polinomio X^{4} − 2X^{2} − 1 sobre ℚ. Ejercicio 12. Sea K un cuerpo de característica distinta de 2 y sean α, β ∈ K tales que α, β y αβ no son cuadrados en K. Si a^{2} = α y b^{2} = β, caracterizar G(K[a, b]/K). Ejercicio 13. Sea K un cuerpo de característica distinta de 2.

i) Sea E/K una extensión galoisiana tal que G(E/K) ≃ ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2}. Probar que E = K[a, b] con a^{2}, b^{2} ∈ K.

ii) Generalizar el resultado del ítem i) para G(E/K) ≃ ℤ_{2} ⊕ ⋯ ⊕ ℤ_{2} (n sumandos). Ejercicio 14. Sea ξ_{n} una raíz primitiva n-ésima de la unidad y sea c_{n} = f(ξ_{n}, ℚ). Sea K/ℚ una extensión tal que c_{n} es irreducible en K[X]. Probar que K(ξ_{n})/K es una extensión galoisiana de grado φ(n) y que G(K(ξ_{n})/K) ≃ U_{n}. Ejercicio 15.

i) Probar que ℚ(cos \frac{2π}{11} )/ℚ es la única subextensión de grado 5 de ℚ(ξ_{11})/ℚ.

ii) Probar que ℚ(ξ_{11})/ℚ tiene una única subextensión de grado 2. Ejercicio 16. Sea E/K una extensión galoisiana de grado 15. Probar que E/K tiene sólo dos subextensiones propias, calcular sus grados y ver que dichas subextensiones resultan galoisianas. Ejercicio 17. Sea E/K una extensión galoisiana de grado 45. Probar que si F/K es una subextensión de grado 3 de E/K, entonces es galoisiana. Ejercicio 18. Sea p ∈ ℕ primo y sea E/K una extensión galoisiana de grado p^{n}s con n ∈ ℕ y (p, s) = 1. Probar que:

i) E/K tiene subextensiones de grado s, y dos de ellas son isomorfas.

ii) Si p > s hay una única subextensión de grado s que, además, resulta galoisiana.

Ejercicio 19.

i) Dada una extensión galoisiana E/K, probar que existe una única subextensión abeliana máxima (es decir, que contiene a todas las subextensiones abelianas).

ii) Determinarla en el caso en que E es el cuerpo de descomposición del polinomio X^{4} − 2 sobre ℚ.

Ejercicio 20.

i) Sean E/K y F/K dos subextensiones de grado finito de una extensión L/K. Probar que E/K y F/K son abelianas (es decir, galoisianas con grupo de Galois abeliano) si y sólo si E.F/K es abeliana.

ii) Exhibir dos subextensiones de grado finito E/ℚ y F/ℚ de ℂ/ℚ tales que E.F/ℚ sea galoisiana pero ni E/ℚ ni F/ℚ lo sean.

Ejercicio 21. Sea f ∈ ℚ[X] un polinomio irreducible de grado mayor o igual que 2 con la propiedad de tener exactamente una raíz real y sea E/ℚ un cuerpo de descomposición de f. Probar que G(E/ℚ) no es abeliano.