Álgebra III

Práctica 7 – Segundo Cuatrimestre de 2008

Separabilidad y cuerpos perfectos – Norma y traza

Ejercicio 1.

i) Sea p ∈ ℕ primo y sea t un elemento trascendente sobre ℤ_{p}. Probar que X^{p}−t es irreducible en ℤ_{p}(t)[X].

ii) Sea K un cuerpo de característica p > 0, y sean a ∈ K −K^{p} y n ∈ ℕ_{0}. Probar que X^{p^{n}} −a

es irreducible en K[X]. iii) Dar ejemplos de extensiones no separables.

Ejercicio 2. Sea K un cuerpo de característica p > 2 y sea { u, v } una familia algebraicamente independiente sobre K. Sea f = X^{2p} + uvX^{p} + u ∈ K(u, v)[X] y sea α una raíz de f en una clausura algebraica de K(u, v). Probar que:

i) [K(u, v)(α) : K(u, v)] = 2p.

ii) K(u, v)(α)/K(u, v) no es separable ni puramente inseparable.

Ejercicio 3. Sea K un cuerpo de característica p > 0 y sea E/K una extensión algebraica. Sea α ∈ E tal que α^{p^{j}} ∈ K para algún j ∈ ℕ_{0}. Probar que f(α, K) = X^{p^{r}} − α^{p^{r}}, donde r = min{j ∈ ℕ_{0} : α^{p^{j}} ∈ K}.

Ejercicio 4. Sea K un cuerpo de característica p > 0 y sea E/K una extensión algebraica. Sean E_{s} = {x ∈ E : x es separable sobre K} y E_{i} = {x ∈ E : x^{p^{n}} ∈ K para algún n ∈ ℕ_{0}}. Probar que:

i) E_{s} y E_{i} son subcuerpos de E.

ii) E es puramente inseparable sobre E_{s}. iii) E_{s} ∩ E_{i} = K. iv) Si E/K es normal, entonces E es separable sobre E_{i}.

Ejercicio 5. Sea {u, v} una familia algebraicamente independiente sobre ℤ_{p}. Calcular el grado y el grado de inseparabilidad de las extensiones siguientes:

i) ℤ_{p}(u, v)/ℤ_{p}(u^{p} − u, v^{p} − v).

ii) ℤ_{p}(u, v)/ℤ_{p}(u^{p}, v^{p} − v − u).

Ejercicio 6. Sea K = ℤ_{p}(t), donde p ∈ ℕ es primo y t es trascendente sobre ℤ_{p}. Sean r, n ∈ ℕ tales que r < p^{n} y sea α una raíz de X^{p^{n}} − t X^{r} + t ∈ K[X] en una clausura algebraica de K. Probar que el grado de inseparabilidad de K(α)/K es p^{m} con m = max{k ∈ ℕ_{0} : p^{k} | r }.

Ejercicio 7. Sea K = ℤ_{p}(t), donde p ∈ ℕ es primo, p ≠ 2, y t es trascendente sobre ℤ_{p}. Sea α una raíz de X^{p^{3}} − tX^{p} + t ∈ K[X] en una clausura algebraica de K. Sea L la clausura normal de la clausura separable de K(α)/K. Hallar [L : K].

Ejercicio 8. Sea K un cuerpo de característica p y sea C una clausura algebraica de K. Se define K^{p^{−∞}} = {x ∈ C : σ(x) = x ∀ σ ∈ G(C/K)}.

i) Probar que:

(a) Si p = 0, entonces K^{p^{−∞}} = K.

(b) Si p > 0, entonces K^{p^{−∞}} = {x ∈ C : x^{p^{n}} ∈ K para algún n ∈ ℕ}. ii) Probar que la construcción de K^{p^{−∞}} no depende de la clausura algebraica elegida.

Ejercicio 9. Un cuerpo K de característica p se dice perfecto si K^{p^{−∞}} = K.

i) Probar que todo cuerpo de característica 0 es perfecto.

ii) Sea K un cuerpo de característica p > 0. Probar que K es perfecto si y sólo el morfismo

f : K → K definido por f(x) = x^{p} es un automorfismo. iii) Deducir que todo cuerpo finito es perfecto. iv) Probar que si K no es perfecto, entonces [K^{p^{−∞}} : K] = ∞.

Ejercicio 10. Sea K un cuerpo de característica p y sea C una clausura algebraica de K. Probar que:

i) K^{p^{−∞}} es perfecto y C/K^{p^{−∞}} es de Galois.

ii) K es perfecto si y sólo si toda extensión algebraica de K es separable.

Ejercicio 11. Probar que si car(K) = p > 0, entonces K(X) no es perfecto.

Ejercicio 12. Sea K un cuerpo y sea E/K una extensión algebraica.

i) Probar que si K es perfecto, entonces E es perfecto.

ii) Probar que si E es perfecto y E/K es separable, entonces K es perfecto. iii) Probar que si [E : K] < ∞ y E es perfecto, entonces E/K es separable.

Ejercicio 13.

i) Calcular la norma y la traza de \sqrt[3]{2} en ℚ[\sqrt[3]{2} ]/ℚ y en ℚ[\sqrt[3]{2}, ξ_{3} ]/ℚ.

ii) Sea p ∈ ℕ primo. Calcular la norma y la traza de ξ_{p} en ℚ[ξ_{p}]/ℚ.

iii) Sea d un entero libre de cuadrados y sea a ∈ ℚ[\sqrt{d}] − ℚ.

Probar que f(a, ℚ) = X^{2} − Tr(a) X + N(a).

Ejercicio 14. Sea K un cuerpo de característica p > 0 y sea X trascendente sobre K. Calcular la norma y la traza de X en K(X)/K(X^{p}).

Ejercicio 15. Sea p ∈ ℕ primo mayor que 3 y sea {u, v} una familia algebraicamente independiente sobre ℤ_{p}. Sean K = ℤ_{p}(u^{3}, v^{2}) y E = ℤ_{p}(u, v). Calcular la norma y la traza de u + v en E/K.

Ejercicio 16. Sea E/K una extensión finita. Probar que:

i) E/K es separable si y sólo si Tr : E → K es una aplicación no nula.

ii) Si E/K es separable, entonces Tr : E → K es suryectiva.

iii) La aplicación Tr : E × E → K definida por Tr(a, b) = Tr(a.b) es una forma bilineal simétrica.

iv) Para cada a ∈ E se define Tr_{a} : E → K como Tr_{a}(b) = Tr(a.b).

(a) Verificar que Tr_{a} ∈ E^{∗} para cada a ∈ E.

(b) Probar que si E/K es separable, la aplicación a ↦ Tr_{a} es un isomorfismo entre E y E^{∗}.

Ejercicio 17. Sea K un cuerpo de característica p > 0 y sea E/K una extensión de grado q, con q un primo distinto de p. Probar que existe α ∈ E tal que E = K[α] y el coeficiente de grado q − 1 de f(α, K) es nulo.

Ejercicio 18.

i) Calcular núcleo e imagen del morfismo de grupos de ℂ^{∗} en ℝ^{∗} inducido por la aplicación N : ℂ → ℝ.

ii) Probar que en ℚ[\sqrt{2} ]/ℚ la norma no es inyectiva ni suryectiva.

Ejercicio 19. Sea K un cuerpo finito y sea L/K una extensión finita. Probar que la norma y la traza en L/K son suryectivas.

Ejercicio 20. Sea u trascendente sobre ℤ_{7} y sean K = ℤ_{7}(u^{7} − u) y E = ℤ_{7}(u).

i) Hallar una base del núcleo de la transformación lineal Tr_{E/K} : E → K.

ii) Encontrar una base de E como K-espacio vectorial formada por elementos de traza 1.

Ejercicio 21. Sea K un cuerpo de característica p y sea E/K una extensión de grado n tal que n es coprimo con p. Sea x ∈ E. Probar que si Tr(x^{i}) = 0 para todo 1 ≤ i ≤ n, entonces x = 0.