Álgebra III

Práctica 3 – Segundo Cuatrimestre de 2010

Cuerpos finitos y extensiones ciclotómicas

Ejercicio 1. Sea K un cuerpo. Notemos (K, + ) al grupo aditivo de K y (K^{∗}, · ) al grupo multiplicativo. Probar que (K, + ) y (K^{∗}, · ) nunca son isomorfos como grupos. Caracterizar ambos grupos en el caso en que K sea finito.

Ejercicio 2. Probar que dos cuerpos finitos de igual cardinal son isomorfos.

Ejercicio 3. Sea C una clausura algebraica de ℤ_{p} y sean 𝔽_{p^{m}} y 𝔽_{p^{n}} los cuerpos de p^{m} y p^{n} elementos incluidos en C. Probar que 𝔽_{p^{m}} ⊂ 𝔽_{p^{n}} si y sólo si m | n.

Ejercicio 4. Sea K un cuerpo de q elementos y sea E/K una extensión finita de K. Probar que E/K es cíclica con G(E/K) = < σ >, donde σ : E → E es el morfismo definido por σ(x) = x^{q}.

Ejercicio 5. Sea K un cuerpo finito de q elementos.

i) Sea f ∈ K[X] irreducible. Probar que f divide a X^{q^{n}} − X si y sólo si gr(f) divide a n.

ii) Probar que X^{q^{n}}−X = ∏_{d|n} (∏ f_{d}), donde el producto de adentro recorre todos los polinomios

irreducibles mónicos de grado d en K[X].

iii) Deducir que q^{n} = ∑_{d|n} d.u(d), donde u(d) es la cantidad de polinomios irreducibles mónicos

de grado d en K[X].

iv) Dar una fórmula para u(d).

v) Calcular la cantidad de polinomios de grado 3 y 4 mónicos e irreducibles que hay en un cuerpo de 2^{12} y en un cuerpo de 3^{12} elementos.

Ejercicio 6. Sea n ∈ ℕ impar y sea K un cuerpo con car(K) ≠ 2. Probar que K contiene una raíz n-ésima primitiva de 1 si y sólo si K contiene una raíz 2n-ésima primitiva de 1.

Ejercicio 7. Hallar todos los m ∈ ℕ para los cuales una raíz m-ésima primitiva de 1 tiene grado 2 o 4 sobre ℚ.

Ejercicio 8.

i) Sea E/ℚ una extensión de grado finito. Probar que existe sólo un número finito de raíces de la unidad en E.

ii) Determinar todas las raíces de la unidad contenidas en cada uno de los siguientes cuerpos: ℚ[ i], ℚ[\sqrt{−2} ], ℚ[\sqrt{2} ], ℚ[\sqrt{−3} ], ℚ[\sqrt{−5} ], ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{−3} ] y ℚ(ξ_{9}).

Ejercicio 9. Para cada n ∈ ℕ, sea c_{n} ∈ ℚ[X] el polinomio ciclotómico de orden n. Probar que: i) Si p ∈ ℕ es primo, entonces c_{p}(X) = X^{p−1} + X^{p−2} + ⋯ + 1. ii) Para cada r ∈ ℕ y cada primo p ∈ ℕ, c_{p^{r}}(X) = c_{p}(X^{p^{r−1}}). iii) Si n = p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}} … p_{s}^{r_{s}} con p_{1} …, p_{s} primos distintos, c_{n}(X) = c_{p_{1}...p_{s}}(X^{p_{1}^{r_{1}−1}... p_{s}^{rs−1}}). iv) Si n es impar, c_{2n}(X) = c_{n}(−X).

v) Si p es primo, p ∤ n, entonces c_{pn}(X) = \frac{c_{n}(X^{p})}{c_{n}(X)}.

Ejercicio 10. Sean E/K y F/K extensiones ciclotómicas de índices m y n respectivamente, con (m : n) = 1, contenidas en una clausura algebraica C de K. Probar que:

i) EF/K es una extensión ciclotómica de índice mn.

ii) Si K = ℚ, entonces E ∩ F = ℚ. Ejercicio 11.

i) Sea E/ℚ una extensión cuadrática. Probar que c_{n} es reducible en E[X] si y sólo si E ⊂ ℚ(ξ_{n}).

ii) Determinar todas las extensiones cuadráticas E/ℚ tales que c_{12} es irreducible en E[X].

Idem para c_{8} y c_{10}. Ejercicio 12. Hallar todos los n ∈ ℕ tales que c_{n} es irreducible sobre ℚ(ξ_{9}). Ejercicio 13. Sea K un cuerpo, sea Φ : ℤ → K el único morfismo de anillos con unidad y sea \overline{Φ} : ℤ[X] → K[X] el morfismo de anillos inducido por Φ definido como \overline{Φ} (∑ a_{i}X^{i}) = ∑ Φ(a_{i})X^{i}. Como c_{n} ∈ ℤ[X], podemos pensar a c_{n} en K[X] vía \overline{Φ}.

i) Probar que:

a) c_{n} ∈ K[X] es mónico de grado φ(n).

b) X^{n} − 1 = ∏_{d|n} c_{d} en K[X].

c) Si car(K) ≠ 0 y n es coprimo con car(K), entonces c_{n} tiene todas sus raíces simples. ii) Sea C/K una clausura algebraica y sea ξ ∈ C una raíz n-ésima primitiva de 1 (i.e. ξ^{n} = 1

y ξ^{r} ≠ 1 ∀ r < n). Probar que, si car(K) ∤ n: a) ξ ∈ C es raíz de c_{n} si y sólo si ξ es raíz n-ésima primitiva de 1.

b) La cantidad de raíces n-ésimas primitivas de 1 en C es φ(n).

c) Si ξ_{n} es una raíz n-ésima primitiva de 1 en C, entonces ξ ∈ C es otra raíz n-ésima primitiva de 1 si y sólo si ξ = ξ_{n}^{j} para algún 1 ≤ j ≤ n tal que (j : n) = 1.

Ejercicio 14. Sea K un cuerpo y sea n ∈ ℕ tal que car(K) ∤ n. Probar que c_{n} se factoriza en K[X] como producto de polinomios irreducibles de grado [K(ξ_{n}) : K], donde ξ_{n} es una raíz n-ésima primitiva de 1. Ejercicio 15. Sea K un cuerpo finito de q elementos, y sea E/K una extensión ciclotómica de índice n, con n coprimo con car(K). Probar que:

i) E es un cuerpo de q^{m} elementos, donde m es el menor número natural tal que n | q^{m} − 1. ii) Deducir que c_{n} es irreducible en K[X] si y sólo si la clase de q en U_{n} tiene orden φ(n).

Ejercicio 16. Probar que:

i) Si p es un primo, p ≠ 2, 3, entonces c_{12} es reducible en ℤ_{p}[X].

ii) El polinomio X^{4} + 1 es reducible en ℤ_{p}[X] para todo primo p. Ejercicio 17. Probar que:

i) ℤ_{3} no contiene raíces 13-ésimas de la unidad distintas de 1.

ii) Si E/ℤ_{3} es una extensión ciclotómica de índice 13, entonces [E : ℤ_{3}] = 3 < φ(13). Ejercicio 18.

i) Hallar todos los n ∈ ℕ tales que c_{n} es irreducible sobre un cuerpo de 9 elementos.

ii) Sea p ∈ ℕ primo. Hallar todos los m ∈ ℕ tales que c_{6} es irreducible sobre un cuerpo de

p^{m} elementos. Ejercicio 19.

i) Sea K un cuerpo de 27 elementos. Factorizar c_{7} como producto de polinomios irreducibles en K[X].

ii) Sea t trascendente sobre ℤ_{7} y sea K = ℤ_{7}(t). Factorizar c_{9} como producto de polinomios irreducibles en K[X].