ALGEBRA LINEAL - Primer Recuperatorio del Segundo Parcial - 18/12/95 Ejercicio 1. Probar que no existe B ∈ IR^{3×3} tal que B^{2} = ( \begin{matrix}−2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & −2 \end{matrix} ) ¿Existirá B ∈ C^{3×3} que cumpla lo pedido? Ejercicio 2.

i) Dada la matriz A = ( \begin{matrix}5 & 1 & 4 \\ −1 & 3 & −1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ C^{3×3}, calcular su forma de Jordan. ii) Encontrar B ∈ Q^{3×3} tal que B^{2} = A Ejercicio 3. Sea A ∈ IR^{6×6} tal que X_{A} = (X + 1)^{3}(X − 1)^{2}(X − 2). Hallar las posibles formas de Jordan de A sabiendo que la suma de las raíces de su polinomio minimal (contadas con multiplicidad) es igual al producto de dichas raíces. Ejercicio 4. Sean L_{1} y L_{2} las rectas en IR^{3} definidas por:

L_{1} = \{(x, y, z)/ \{ \begin{matrix}y − x = 1 \\ z − x = 1 \end{matrix} \} L_{2} =< (1, 0, 1) > +(1, 0, 0)

Encontrar una recta L_{3} perpendicular con L_{1} y con L_{2} que corte a ambas. Ejercicio 5.

i) Definir un producto interno ⟨, ⟩ en IR^{3} que cumpla simultáneamente:

\{ \begin{matrix}a) < (1, 1, 1) >^{⊥}= \{(x_{1}, x_{2}, x_{3})/x_{1} = 0\} \\ b) < (0, 1, 1) >^{⊥}= \{(x_{1}, x_{2}, x_{3})/x_{1} − x_{2} = 0\} \\ c) ∥ (1, 2, 2) ∥= \sqrt{2} \\ d) ∥ (0, 1, 1) ∥= 1 \end{matrix}

ii) Calcular respecto de cualquier producto interno que cumpla i) la proyección ortogonal del vector (0, 1, 0) sobre el espacio S =< (1, 1, 1), (0, 1, 1) >. Ejercicio 6. Sea k ∈ IR y sean Π_{1} y Π_{2} los planos en IR^{3} definidos por

Π_{1} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3})/x_{1} − x_{2} + 2x_{3} = k}

Π_{2} =< (1, 0, 1), (0, 1, 2) > +(1, −1, 1)

Determinar k para que exista una simetría f : IR^{3} → IR^{3} tal que f(Π_{1}) = Π_{2}. Para ese valor de k hallar dicha simetría y calcular f(Π_{2}).

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