1. Espacios vectoriales
Definición. Subespacios. Sistemas de generadores. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos. Independencia lineal. Bases y dimensión. Suma de subespacios. Teorema de dimensión de la suma. Suma directa. Espacio cociente.

2. Transformaciones lineales y Matrices
Operaciones con matrices. Propiedades del álgebra de matrices. Matrices inversibles. Cálculo de la inversa. Matrices elementales como generadores de GL(n,K). Definiciones básicas de transformaciones lineales: núcleo, imagen, epimorfismo, monomorfismo, isomorfismo, endomorfismo, automorfismo. Teorema de la dimensión para transformaciones lineales. Rango de una matriz. Teorema sobre la dimensión del subespacio de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Matriz de una transformación lineal. Coordenadas y matrices de cambio de base. Proyectores y nilpotentes. Equivalencia y semejanza de matrices.

3. Espacio dual
Definición. Base dual. Anulador de un subespacio. Dimensión del espacio anulador. Espacio anulado por un subespacio del dual. Ecuaciones para un subespacio en una base. Anulador de la suma y de la intersección de subespacios. Doble dual. Identificación de un espacio de dimensión finita con su doble dual. Función transpuesta. Relaciones entre núcleos e imágenes de una transformación lineal y su transpuesta. Matriz de la función transpuesta. Cambios de bases duales a partir de las bases originales.

4. Determinante
Funciones multilineales alternadas por filas definidas en matrices cuadradas. Existencia y unicidad fijando el valor en la identidad. Definición del determinante como la única multilineal alternada que vale 1 en la identidad. El determinante como función alternada por columnas. Propiedades del determinante. Determinante de un endomorfismo. Desarrollo del determinante por filas y por columnas. Criterio del determinante para decidir la invertibilidad de una matriz. Regla de Cramer. Matriz adjunta. Cálculo del rango de una matriz a partir de determinantes de submatrices. Fórmula del determinante usando permutaciones. Determinante de una matriz de Vandermonde. Area de paralelogramos y volumen de paralelepípedos. Resultante entre dos polinomios en una variable.

5. Autovalores y autovectores
Subespacios invariantes por un endomorfismo. Definición de autovalores y autovectores. Polinomio característico. Diagonalización de matrices. Polinomio minimal. Teorema de Hamilton-Cayley. Criterios de diagonalización basados en el polinomio característico y en el minimal. Matriz compañera.

6. Forma de Jordan
Forma de Jordan para endomorfismos nilpotentes. Semejanza de matrices nilpotentes en C^n×n. Forma de Jordan general en C^n×n. Criterios para establecer semejanza de matrices en C^n×n. Potencias de una matriz en C^n×n. Exponencial de una matriz.

7. Variedades lineales
Definición de variedad lineal. Dimensión de una variedad lineal. Ecuaciones implícitas. Variedades paralelas y alabeadas.

8. Espacios con producto interno
Formas bilineales y sesquilineales. Espacios vectoriales con producto interno. Ortogonalidad y ortonormalidad. Método de Gram-Schmidt. Proyecciones ortogonales. Distancia y ángulo. Adjunta de una transformación lineal. Transformaciones ortogonales y unitarias. Clasificación en R^2×2 y en R^3×3. Isometrías.

9. Cuádricas y cónicas
Formas cuadráticas, clasificación. Funciones cuadráticas. Cuádricas y cónicas. Ejemplos.

BIBLIOGRAFIA

• Algebra lineal, K. Hoffman y R. Kunze, Prentice Hall.
• Algebra lineal y geometría. A. Larotonda, Eudeba.
• Algebra lineal, S. Lang, Addison-Wesley.
• Notas de Algebra II, E. Gentile, Editorial Docencia.
• Algebra lineal, S. Lipschutz, Serie Schaum.