Espacios vectoriales Definición. Subespacios. Sistemas
de generadores. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no
homogéneos. Independencia lineal. Bases y dimensión. Coordenadas.
Matriz de cambio de base. Suma
de subespacios. Teorema de dimensión de la suma. Suma directa.
Transformaciones lineales. Definición.
Matriz de una transformación lineal. Núcleo,
imagen, epimorfismo, monomorfismo e isomorfismo. Teorema de la dimensión
para transformaciones lineales.
Espacio dual. Definición. Base dual. Anulador. Dimensión
del espacio anulador. Ecuaciones para un subespacio en una base. Cambios
de bases duales a partir de las bases originales. Anulador de la suma y
de la intersección de subespacios. Función transpuesta.
Determinante.
Funciones multilineales alternadas por columnas
definidas en matrices cuadradas. Signo de una permutación.
Existencia y unicidad del determinante fijando el valor en la identidad.
Fórmula del determinante usando permutaciones.
Determinante de un producto de matrices. Determinante de la transpuesta. Determinante
de una matriz a partir del de sus bloques.
Desarrollo del determinante por filas y por columnas. Efectos de la triangulación
sobre el determinante. Matriz
adjunta. Aplicación del determinante para decidir inversibilidad. Regla de Cramer.
Autovectores y autovalores. Diagonalización de matrices.
Polinomio característico de una matriz cuadrada. Teorema de Hamilton-Cayley.
Polinomio minimal. Teorema de descomposición primaria. Criterios de
diagonalización basados en el polinomio característico y
en el minimal. Subespacios invariantes.
Forma de Jordan. Fórmula para el número de
bloques de Jordan de cada tamaño dado que aparecen el la forma de Jordan
de una matriz. Cálculo de la base de Jordan. Aplicaciones: criterios para establecer
semejanza de matrices en Cnxn. Potencias de una matriz en Cnxn.
Espacios con producto interno. Matriz de un producto
interno en una base. Proceso de Gram-Schmidt. Proyección ortogonal.
Adjunta de un operador. Operadores unitarios, autoadjuntos y normales. Teorema
de triangulabilidad de operadores. Diagonalización de operadores
normales. Caso real autoadjunto.