SUMAS DE SUBESPACIOS

En este apunte trabajaremos el concepto de sumas de subespacios. La suma de subespacios es el subespacio generado por la unión de todos los sumandos.

Definición 1. Sea 𝕍 un 𝕂 espacio vecorial y sean S y T subespacios. Definimos la suma de S y T como el subespacio S + T = ⟨S, T ⟩. En el caso en que S ∩ T = {0} decimos que la suma es directa y notamos S + T = S ⊕ T.

Observación 2. Resulta claro que S +T = {s+t ∈ 𝕍 / s ∈ S, t ∈ T } ya que el miembro de la derecha es un subespacio y cualquier subespacio que contenga a S y a T contiene a todos los vectores de la forma s + t (s ∈ S, t ∈ T). Esto demuestra el hecho de que la unión de un conjunto de generadores de S con un conjunto de generadores de T es un conjunto de generadores de la suma.

Definición 3. Sean B = {v_{1}, v_{2}, … v_{n}} y B′ = {w_{1}, w_{2}, … w_{m}} conjuntos ordenados. Llamamos unión ordenada de B y B′ a la sucesión {v_{1}, v_{2}, … v_{n}, w_{1}, w_{2}, … w_{m}}. Esta definición puede extenderse a varios subespacios inductivamente.

Observación 4. Notar que en una unión ordenada puede aparecer el mismo elemento más de una vez.

Proposición 5. Sea 𝕍 un 𝕂 espacio vectorial de dimensión finita y sean S y T subespacios. Las siguientes afirmaciones son equivalentes

1. S + T = S ⊕ T.

2. dim(S + T) = dim(S) + dim(T).

3. La unión ordenada de una base de S y una base de T es base de S + T.

4. Para todo v ∈ S + T existen únicos s ∈ S y t ∈ T tales que v = s + t.

Demostración. (1)⇒(2): Por el teorema de la dimensión tenemos que dim(S +T) = dim(S)+dim(T)−dim(S ∩T). Luego, como S ∩T = {0} se tiene (2).

(2)⇒(3): Sean B_{S} y B_{T} bases de S y T respectivamente. Por la observación anterior sabemos que B = B_{S} ∪ B_{T} es un conjunto de generadores de S +T y por lo tanto dim(S +T) ≤ #(B). Por otro lado #(B) ≤ #(B_{S}) + #(B_{T}) = dim(S) + dim(T) = dim(S + T). Luego dim(S + T) = #(B) y, como B genera S + T, resulta base.

(3)⇒(4): Sea v ∈ S + T, es claro que existen s ∈ S y t ∈ T tales que v = s + t. Supongamos ahora que v = s + t = s′ + t′, donde s′ ∈ S y t′ ∈ T, tenemos entonces que s−s′ = t′−t. Si s−s′ = t′−t ≠ 0 entonces es linealmente independiente, por lo que puede extenderse tanto una base de S como a una de T. Conseguimos así una base de S y otra de T cuya unión ordenada no es base de S + T (está el mismo elemento dos veces), que resulta una contradicción. Luego s = s′ y t = t′.

(4)⇒(1): Sea v ∈ S ∩ T, tenemos que 0_{∈S} + v_{∈T} = v_{∈S} + 0_{∈T}, como la escritura es única, sigue que v = 0. □

Observación 6. En caso de que 𝕍 sea de dimensión infinita (1), (3) y (4) siguen siendo equivalentes e implican (2).

Definiremos ahora suma y suma directa de varios subespacios.

Definición 7. Sean 𝕍 un 𝕂 espacio vectorial y {S_{i} / i ∈ I} una familia de subespacios de 𝕍. Definimos el subespacio suma como

∑_{i∈I} S_{i} = ⟨S_{i} / i ∈ I⟩ = {∑_{j=1}^{n} v_{i_{j}} / v_{i_{j}} ∈ S_{i_{j}}, n ∈ ℕ}

Proposición 8. Sea 𝕍 un 𝕂 espacio vectorial de dimensión finita y sean S_{1}, S_{2}, … S_{n} subespacios. Las siguientes afirmaciones son equivalentes

1. S_{i} ∩ ∑_{j≠i} S_{j} = {0} para todo i (1 ≤ i ≤ n).

2. dim(∑_{i=1}^{n} S_{i}) = ∑_{i=1}^{n} dim(S_{i}).

3. Si para cada i, 1 ≤ i ≤ n, B_{i} es base de S_{i}, la unión ordenada de los B_{i} (1 ≤ i ≤ n) es base de ∑_{i=1}^{n} S_{i}.

4. Para todo v ∈ ∑_{i=1}^{n} S_{i} existen únicos v_{i} ∈ S_{i}, (1 ≤ i ≤ n), tales que v = ∑_{i=1}^{n} v_{i}.

Demostración. (1)⇒(2): (Por inducción en el número de sumandos). En la proposición anterior probamos que (1)⇒(2) para n = 2. Supongamos ahora que vale para n − 1 sumandos. Consideremos S_{1},

S_{2}, …, S_{n−1}, de (1) se deduce que S_{i} ∩ ∑_{j≠i} S_{j} = {0} para todos i, j, con 1 ≤ i, j ≤ n − 1 entonces, por hipotesis inductiva resulta que dim(∑_{i=1}^{n−1} S_{i}) = ∑_{i=1}^{n−1} dim(S_{i}). Por el teorema de la dimensión sabemos que

dim(∑_{i=1}^{n} S_{i}) = dim(∑_{i=1}^{n−1} S_{i}+S_{n}) = dim(∑_{i=1}^{n−1} S_{i})+dim(S_{n})−dim(S_{n}∩∑_{i=1}^{n−1} S_{i})

Luego, como S_{n} ∩ ∑_{i=1}^{n−1} S_{i} = {0} se tiene (2).

(2)⇒(3): Sean B_{S_{i}} bases de S_{i}. Es claro que B = ∪_{i=i}^{n}B_{S_{i}} es un conjunto de generadores de ∑_{i=1}^{n} S_{i} y por lo tanto dim(∑_{i=1}^{n} S_{i}) ≤ #(B). Por otro lado #(B) ≤ ∑_{i=1}^{n} #(B_{S_{i}}) = ∑_{i=1}^{n} dim(S_{i}) = dim(∑_{i=1}^{n} S_{i}). Luego dim(∑_{i=1}^{n} S_{i}) = #(B) y, como B genera ∑_{i=1}^{n} S_{i}, resulta base.

(3)⇒(4): Sea v ∈ ∑_{i=1}^{n} S_{i}, es claro que existen v_{1}, v_{2}, … v_{n}, con (v_{i} ∈ S_{i}), tales que v = ∑_{i=1}^{n} v_{i} (v_{i} ∈ S_{i}). Sea j, 1 ≤ j ≤ n, llamemos T_{j} = ∑_{i≠j} S_{i}. Es claro que S_{j} ⊕ .T_{j}. Ahora bien v = v_{j} + ∑_{j≠i} v_{j}, como ∑_{i≠j} v_{i} ∈ T_{j} y S_{j} ⊕ .T_{j}, de la proposición anterior se deduce que v_{j} es único.

(4)⇒(1): Sea j, 1 ≤ j ≤ n, consideremos nuevamente T_{j} = ∑_{i≠j} S_{i}, de (4) sabemos que para todo v ∈ ∑_{i=1}^{n} S_{i}, existen únios v_{j} ∈ S_{j} y w_{j} ∈ T_{j} tales que v = v_{j} + t_{j}, luego (por la proposición anterior) S_{j} ∩ T_{j} = {0} para todo j, 1 ≤ j ≤ n.

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Definición 9. Sean 𝕍 un 𝕂 espacio vectorial y {S_{i} / i ∈ I} una familia de subespacios de 𝕍. Decimos que la suma ∑_{i∈I} S_{i} es directa si para todo j ∈ I, S_{j} ∩ ∑_{i≠j} S_{i} = {0}.

En tal caso notamos ∑_{i∈I} S_{i} = ⊕_{i∈I}S_{i}.

Observación 10. La proposición anterior nos da una caracterización de las sumas directas de finitos subespacios de dimensión finita. Sin embargo vale la equivalencia entre (1), (3) y (4) para una cantidad arbitraria de subespacios en un espacio vectorial de dimensión infinita.

Un corolario inmediato de esta proposición dice que la suma directa es asociativa, hecho que no se desprende evidentemente de la definición pero si de (4). Dicho de otro modo, si S_{1}, S_{2} y S_{3} son subespacios de un 𝕂 espacio vectorial 𝕍 tales que S_{1} ⊕(S_{2} ⊕S_{3}), entonces S_{1} +(S_{2})+S_{3} = S_{1} ⊕ S_{2} ⊕ S_{3}.

Ejemplo 11. Sea 𝕍 un K espacio vetorial (2 ≠ 0 en 𝕂) y sea f ∈ End(𝕍) tal que f^{3} − f = 0. Entonces 𝕍 = Ker(f) ⊕ Ker(f − id) ⊕ Ker(f + id).

Veamos primero que Ker(f) ⊕ Im(f) = 𝕍. Sea v ∈ 𝕍, v = (v − f^{2}(v))+f^{2}(v), es claro que f^{2}(v) ∈ Im(f). Por otro lado f(v−f^{2}(v)) = f(v) − f^{3}(v) = 0, lo que muestra que 𝕍 = Ker(f) + Im(f). Tomemos ahora v ∈ Ker(f) ∩ Im(f), entonces existe u ∈ 𝕍 tal que v = f(u). Ahora bien, v = f(u) = f^{3}(u) = f^{2}(v) = 0, lo que dice que Ker(f) ∩ Im(f) = {0} y por lo tanto Ker(f) ⊕ Im(f) = 𝕍.

Ahora veremos que Im(f) = Ker(f −id)⊕Ker(f +id). Sabemos que f^{3}−f = 0, entnces (f^{3}−f)(𝕍) = (f^{2}−id)∘f(𝕍) = (f^{2}−id)(Im(f)) = {0}. Esto dice que la restricción de f^{2} a la imagen de f es la identidad. Sea w ∈ Im(f), w = \frac{v+f(v)}{2} + \frac{v−f(v)}{2}, donde \frac{v+f(v)}{2} ∈ Ker(f − id) y \frac{v+f(v)}{2} ∈ Ker(f + id). Sea ahora v ∈ Ker(f − id) ∩ Ker(f + id), entonces f(v) = v = −v, lo que implica que v = 0 (2 ≠ 0 en 𝕂). Luego Im(f) = Ker(f − id) ⊕ Ker(f + id).

Probamos entonces que 𝕍 = ker(f) ⊕ (Ker(f − id) ⊕ Ker(f + id)) = ker(f) ⊕ Ker(f − id) ⊕ Ker(f + id).