ALGEBRA LINEAL - Práctica N^{∘}4 - Segundo Cuatrimestre de 2006 Determinantes

Ejercicio 1. Calcular el determinante de las siguientes matrices:

i) ( \begin{matrix}−3 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} )  ii) ( \begin{matrix}2 & −2 \\ −1 & 1 \end{matrix} )  iii) ( \begin{matrix}1 & 2 & 5 \\ −3 & 0 & −1 \\ 1 & −4 & −2 \end{matrix} )

iv) ( \begin{matrix}2 & −1 & 3 \\ −1 & 1 & −2 \\ 4 & −1 & 5 \end{matrix} )  v) ( \begin{matrix}2 & 3 & −2 & 5 \\ 4 & −5 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & −1 & 7 \\ 6 & 3 & −4 & 8 \end{matrix} )  vi) ( \begin{matrix}5 & 4 & −2 & 5 \\ 2 & −3 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ −4 & 3 & 3 & 8 \end{matrix} )

Ejercicio 2. Calcular el determinante de las matrices elementales definidas en el ejercicio 16 de la práctica 2.

Ejercicio 3.

i) Sea A ∈ K^{n×n} una matriz triangular superior. Probar que det(A) = ∏_{i=1}^{n} A_{ii}.

ii) Calcular el determinante de A ∈ K^{n×n} siendo

A = ( \begin{matrix}0 & 0 & … & 0 & a_{1} \\ 0 & 0 & … & a_{2} & 0 \\ … & … & … & … & … \\ 0 & a_{n−1} & … & 0 & 0 \\ a_{n} & 0 & … & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Ejercicio 4.

i) Si A ∈ K^{n×n}, B ∈ K^{m×m} y C ∈ K^{n×m}, sea M ∈ K^{(n+m)×(n+m)} la matriz de bloques definida por M = ( \begin{matrix}A & C \\ 0 & B \end{matrix} ). Probar que det(M) = det(A). det(B).

ii) Sean r_{1}, r_{2}, …, r_{n} ∈ ℕ y para cada i , 1 ≤ i ≤ n, sea A_{i} ∈ K^{r_{i}×r_{i}}. Se considera la matriz de bloques

M = ( \begin{matrix}A_{1} & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & A_{2} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & A_{3} & … & 0 \\ … & … & … & … & … \\ 0 & 0 & 0 & … & A_{n} \end{matrix} ) .

Calcular det(M).

Ejercicio 5. Calcular los determinantes de las siguientes matrices:

i) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & … & n \\ −1 & 0 & 3 & … & n \\ −1 & −2 & 0 & … & n \\ … & … & … & … & … \\ −1 & −2 & −3 & … & 0 \end{matrix} )  ii) ( \begin{matrix}x & a & a & … & a \\ a & x & a & … & a \\ a & a & x & … & a \\ … & … & … & … & … \\ a & a & a & … & x \end{matrix} )

iii) ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & … & 1 & 1 \\ 1 & 0 & x & … & x & x \\ 1 & x & 0 & … & x & x \\ … & … & … & … & … & … \\ 1 & x & x & … & 0 & x \\ 1 & x & x & … & x & 0 \end{matrix} )

Ejercicio 6.

i) Calcular inductivamente el determinante de A ∈ ℝ^{n×n}:

A = ( \begin{matrix}2 & 1 & 0 & 0 & … & … & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & … & … & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & … & 0 \\ … & … & … & … & … & … & … \\ 0 & … & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & … & … & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & … & … & … & 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

ii) Calcular inductivamente el determinante de la matriz compañera A ∈ K^{n×n}:

A = ( \begin{matrix}t & 0 & 0 & … & 0 & 0 & a_{0} \\ −1 & t & 0 & … & 0 & 0 & a_{1} \\ 0 & −1 & t & … & 0 & 0 & a_{2} \\ 0 & 0 & −1 & … & 0 & 0 & a_{3} \\ … & … & … & … & … & … & … \\ 0 & 0 & 0 & … & −1 & t & a_{n−2} \\ 0 & 0 & 0 & … & 0 & −1 & t + a_{n−1} \end{matrix} )

Ejercicio 7. Dada la matriz de Vandermonde:

V (k_{1}, k_{2}, …, k_{n}) = ( \begin{matrix}1 & 1 & … & … & 1 \\ k_{1} & k_{2} & … & … & k_{n} \\ k_{1}^{2} & k_{2}^{2} & … & … & k_{n}^{2} \\ … & … & … & … & … \\ k_{1}^{n−1} & k_{2}^{n−1} & … & … & k_{n}^{n−1} \end{matrix} ) ,

probar que det (V (k_{1}, k_{2}, …, k_{n})) = ∏_{1≤i<j≤n}(k_{j} − k_{i}).

Sugerencia: Sin perder generalidad se supone que k_{i} ≠ k_{j} si i ≠ j. Si se considera el determinante de V (k_{1}, k_{2}, …, k_{n−1}, X) como polinomio en X probar que k_{1}, …, k_{n−1} son sus raíces y factorizarlo.

Observación: Si α_{0}, α_{1}, …, α_{n} ∈ K son escalares distintos, V (α_{0}, α_{1}, …, α_{n}) resulta inversible. Sea A = (V (α_{0}, α_{1}, …, α_{n}))^{t} ∈ K^{(n+1)×(n+1)} y sean β_{0}, β_{1}, …, β_{n} ∈ K. Entonces el sistema

A.x = (β_{0}, β_{1}, …, β_{n}) tiene solución única (x_{0}, x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n+1} y P = ∑_{i=0}^{n} x_{i}.X^{i} es el polinomio

interpolador de Lagrange tal que P (α_{i}) = β_{i} (0 ≤ i ≤ n) Ejercicio 8. Calcular los siguientes determinantes:

i) ( \begin{matrix}1 + a & 1 + b & 1 + c & 1 + d \\ 1 + a^{2} & 1 + b^{2} & 1 + c^{2} & 1 + d^{2} \\ 1 + a^{3} & 1 + b^{3} & 1 + c^{3} & 1 + d^{3} \\ 1 + a^{4} & 1 + b^{4} & 1 + c^{4} & 1 + d^{4} \end{matrix} )  ii) ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} & d^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} & d^{3} \\ a^{4} & b^{4} & c^{4} & d^{4} \end{matrix} )

Ejercicio 9. Sea A = (a_{ij}) ∈ ℝ^{3×3} tal que A. ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 7 \end{matrix} ). Si det(A) = 3, calcular el determinante de la matriz

( \begin{matrix}a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ 1 & 2 & 7 \\ a_{11} + 2a_{13} & a_{21} + 2a_{23} & a_{31} + 2a_{33} \end{matrix} ) .

Ejercicio 10. Dadas las matrices A, B ∈ ℝ^{2×2}

A = ( \begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) y B = ( \begin{matrix}2 & −1 \\ 1 & 3 \end{matrix} ) ,

probar que no existe ninguna matriz C ∈ GL(2, ℝ) tal que A.C = C.B. ¿Y si no se pide que C sea inversible?

Ejercicio 11. Sea A ∈ ℝ^{3×3} la matriz A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \end{matrix} ) y sea B ∈ ℝ^{3×3}, B = (b_{ij}), una matriz tal que det(A + B) = det(A − B). Probar que B es inversible si y sólo si b_{11} ≠ b_{21}. Ejercicio 12.

i) Sea A ∈ ℝ^{4×4} la matriz

A = ( \begin{matrix}a & b & c & d \\ b & −a & d & −c \\ c & −d & −a & b \\ d & c & −b & −a \end{matrix} ) .

Probar que el sistema A.x = 0 tiene solución única si y sólo si a, b, c y d no son todos iguales a cero.

ii) Analizar la validez de la afirmación anterior si A ∈ ℂ^{4×4}.

Ejercicio 13. Sea A ∈ K^{n×n} y sea r ∈ K. Probar que existe x ∈ K^{n}, x ≠ 0, tal que A.x = r.x si y sólo si det(A − r.I_{n}) = 0.

Ejercicio 14. Sean α_{1}, …, α_{n} ∈ ℝ, todos distintos y no nulos. Probar que las funciones e^{α_{1}x}, …, e^{α_{n}x} son linealmente independientes sobre ℝ. Deducir que ℝ^{ℝ} no tiene dimensión finita.

Sugerencia: Derivar n − 1 veces la función ∑_{i=1}^{n} c_{i}e^{α_{i}x}.

Ejercicio 15. Calcular el determinante, la adjunta y la inversa de cada una de las siguientes matrices:

i) ( \begin{matrix}2 & 3 \\ 5 & 1 \end{matrix} )  ii) ( \begin{matrix}2 & −3 & 3 \\ −5 & 4 & 0 \\ 0 & −2 & 2 \end{matrix} )  iii) ( \begin{matrix}−1 & 1 & 6 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ −1 & 2 & 5 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} )  iv) ( \begin{matrix}cos θ & 0 & −sen θ \\ 0 & 1 & 0 \\ sen θ & 0 & cos θ \end{matrix} )

Ejercicio 16. Sea A una matriz inversible. Calcular det(adj A). ¿Qué pasa si A no es inversible?

Ejercicio 17.

i) Resolver los siguientes sistemas lineales sobre ℚ empleando la regla de Cramer:

a) \{ \begin{matrix}3.x_{1} − x_{2} = −3 \\ x_{1} + 7.x_{2} = 4 \end{matrix}  b) \{ \begin{matrix}3.x_{1} − 2.x_{2} + x_{3} = 0 \\ −x_{1} + x_{2} + 2.x_{3} = 1 \\ 2.x_{1} + x_{2} + 4.x_{3} = 2 \end{matrix}  c) \{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} & = & 0 \\ −x_{1} + 2.x_{2} − 4.x_{3} + x_{4} & = & 1 \\ x_{1} − x_{2} − x_{3} − x_{4} & = & 4 \\ 5.x_{1} + x_{2} − 3.x_{3} + 2.x_{4} & = & 0 \end{matrix}

ii) Resolver el siguiente sistema lineal sobre ℤ_{7} empleando la regla de Cramer:

\{ \begin{matrix}3x + y + 2z & = & 1 \\ x + z & = & 6 \\ 2x + 2y + z & = & 3 \end{matrix}

Ejercicio 18. Sea A ∈ ℤ^{n×n} tal que det(A) = 1 ó det(A) = −1. Probar que para todo b = (b_{1}, …, b_{n}) ∈ ℤ^{n}, existe un único x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℤ^{n} tal que A.x = b.

Ejercicio 19. Sea A ∈ ℝ^{3×3} la matriz A = ( \begin{matrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} ). Se sabe que

det ( \begin{matrix}1 & b & c \\ 2 & e & f \\ 5 & h & i \end{matrix} ) = 0, det ( \begin{matrix}a & 2 & c \\ d & 4 & f \\ g & 10 & i \end{matrix} ) = 0, y det ( \begin{matrix}a & b & −1 \\ d & e & −2 \\ g & h & −5 \end{matrix} ) = 0.

Calcular det A.

Ejercicio 20. Sea A ∈ K^{m×n}.

i) Probar que son equivalentes:

a) rg(A) ≥ s

b) A admite una submatriz de s × s con determinante no nulo. ii) Deducir que

rg(A) = máx{s ∈ ℕ_{0} / A admite una submatriz de s × s con determinante no nulo}.

Ejercicio 21.

i) Sea A ∈ K^{3×3} no inversible tal que A_{11}.A_{33} − A_{13}.A_{31} ≠ 0. Calcular la dimensión de S = {x ∈ K^{3}/ A.x = 0}.

ii) Sea A ∈ K^{n×n} no inversible tal que adj(A) ≠ 0. Calcular rg(A) y rg(adj(A)).

Ejercicio 22.

i) Calcular el área del paralelogramo generado por los vectores (2, 1) y (−4, 5). ii) Mismo problema para (3, 4) y (−2, −3). iii) Calcular el área de un paralelogramo tal que 3 de sus vértices están dados por los puntos

(1, 1), (2, −1) y (4, 6). iv) Calcular el volumen del paralelepípedo generado por (1, 1, 3), (1, 2, −1) y (1, 4, 1).

v) Mismo problema para (−2, 2, 1), (0, 1, 0) y (−4, 3, 2).

Ejercicio 23.

i) Sea A = (a_{ij}) ∈ K^{6×6}. ¿Con qué signos aparecen los siguientes productos en det(A)? a) a_{23}.a_{31}.a_{42}.a_{56}.a_{14}.a_{65}

b) a_{32}.a_{43}.a_{14}.a_{51}.a_{66}.a_{25} ii) Sea A = (a_{ij}) ∈ K^{5×5}. Elegir todos los posibles valores de j y de k tales que el producto

a_{1j}.a_{32}.a_{4k}.a_{25}.a_{53} aparezca en det(A) con signo + iii) Sea A = (a_{ij}) ∈ K^{4×4}. Escribir todos los términos de det(A) que tengan al factor a_{23} y signo

+ iv) Sin calcular el determinante, calcular los coeficientes de X^{4} y de X^{3} en

det ( \begin{matrix}2.X & X & 1 & 2 \\ 1 & X & 1 & −1 \\ 3 & 2 & X & 1 \\ 1 & 1 & 1 & X \end{matrix} ) .

v) Sin calcular el determinante, calcular el coeficiente de a^{6} y el de b^{6} en

det ( \begin{matrix}1 & b & a & 1 & 1 & a \\ 1 & 1 & b & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a & b & 1 \\ a & 1 & 1 & 1 & 1 & b \\ 1 & 1 & a & b & 1 & a \\ b & a & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) .

(*) Ejercicio 24. Sean A, B, C, D ∈ K^{n×n}. Sea M ∈ K^{2n×2n} la matriz de bloques

M = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) .

Probar que si A ∈ GL(n, K), det(M) = det(A.D − A.C.A^{−1}.B). Si además A.C = C.A entonces det(M) = det(A.D − C.B).