ALGEBRA LINEAL - Práctica N^{∘}2 - Segundo Cuatrimestre de 2006 Matrices y coordenadas

Ejercicio 1. Probar que los siguientes conjuntos son subespacios de K^{n×n} y calcular su dimensión. i) S_{1} = {A ∈ K^{n×n}/ A = A^{t}} (matrices simétricas) ii) S_{2} = {A ∈ K^{n×n}/ A = −A^{t}} (matrices antisimétricas) iii) S_{3} = {A ∈ K^{n×n}/ A_{ij} = 0 si i > j} (matrices triangulares superiores) iv) S_{4} = {A ∈ K^{n×n}/ A_{ij} = 0 si i ≠ j} (matrices diagonales)

v) S_{5} = {A ∈ K^{n×n}/ A_{ij} = 0 si i ≠ j y A_{11} = A_{22} = ... = A_{nn}} (matrices escalares)

vi) S_{6} = {A ∈ K^{n×n}/ tr(A) = 0}

Ejercicio 2. Sean S_{1} , S_{2} , S_{5} y S_{6} los subespacios del ejercicio anterior.

i) Probar que S_{1} ⊕ S_{2} = K^{n×n} si 2 ≠ 0 en K.

ii) Probar que S_{5} ⊕ S_{6} = K^{n×n} si K = ℚ , ℝ ó ℂ.

Ejercicio 3. Sean m, n y r ∈ ℕ. Probar:

i) Si A ∈ K^{m×n}, B ∈ K^{n×r} con B = (b_{ij}) y, para 1 ≤ j ≤ r, B_{j} = ( b_{1j} ; ⋮ ; b_{nj} ) (la columna j-ésima

de B), entonces A.B = ( A.B_{1} | … | A.B_{r}) (es decir, A.B_{j} es la columna j-ésima de A.B). ii) Sean A, A′ ∈ K^{n×n}; B, B′ ∈ K^{n×m}; C, C′ ∈ K^{m×n} y D, D′ ∈ K^{m×m}.

Sean M, M′ ∈ K^{(n+m)×(n+m)} definidas por M = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) y M′ = ( \begin{matrix}A′ & B′ \\ C′ & D′ \end{matrix} ).

Entonces M.M′ = ( \begin{matrix}A.A′ + B.C′ & A.B′ + B.D′ \\ C.A′ + D.C′ & C.B′ + D.D′ \end{matrix} ).

Ejercicio 4.

i) Caracterizar el conjunto {A ∈ K^{n×n}/ A.B = B.A ∀ B ∈ K^{n×n}}.

ii) Sea A ∈ K^{n×n}. Probar que el conjunto S de todas las matrices que conmutan con A es un

subespacio de K^{n×n}. Probar que I_{n} ∈ S y que A^{j} ∈ S ∀ j ∈ ℕ. iii) Sea A ∈ K^{n×n} con n ≥ 2. Probar que el conjunto {I_{n}, A, A^{2}, A^{3}, …, A^{n^{2}−1}} es linealmente

dependiente. iv) Dar condiciones necesarias y suficientes sobre A y B ∈ K^{n×n} para que

a) (A + B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}

b) A^{2} − B^{2} = (A − B).(A + B)

v) Probar que si A y B ∈ K^{n×n} no necesariamente vale A^{2}.B^{2} = (A.B)^{2}

Ejercicio 5. Sean A , B y C ∈ K^{n×n} (n ≥ 2). Mostrar la falsedad de las siguientes afirmaciones: i) A.B = 0 ⇒ A = 0 ó B = 0 ii) A.B = A.C y A ≠ 0 ⇒ B = C iii) A.B = 0 ⇒ B.A = 0 iv) A^{j} = 0 ⇒ A = 0

v) A^{2} = A ⇒ A = 0 ó A = I_{n}

Ejercicio 6. Sea A ∈ K^{n×n}. Probar que el conjunto T = {B ∈ K^{n×n}/ A.B = 0} es un subespacio de K^{n×n}. Si S ⊂ K^{n} es el subespacio de soluciones del sistema homogéneo cuya matriz asociada es A, probar que dim T = n. dim S. Ejercicio 7. Sean A, A′ ∈ K^{m×n}; B ∈ K^{n×r}; D, D′ ∈ K^{n×n}; α ∈ K. Probar:

i) (A + A′)^{t} = A^{t} + (A′)^{t}

ii) (α.A)^{t} = α.A^{t} iii) (A.B)^{t} = B^{t}.A^{t} iv) tr(D + D′) = tr(D) + tr(D′)

v) tr(α.D) = α.tr(D)

vi) tr(D.D′) = tr(D′.D)

Ejercicio 8. Sean A y B ∈ K^{n×n}.

i) Probar que si A y B son triangulares superiores, A.B es triangular superior.

ii) Probar que si A y B son diagonales, A.B es diagonal. (*) iii) Probar que si A es estrictamente triangular superior (es decir, A_{ij} = 0 si i ≥ j), A^{n} = 0.

Ejercicio 9. Sea A ∈ K^{n×n}.

i) Probar que A.A^{t} y A^{t}.A son simétricas. Encontrar un ejemplo donde A.A^{t} ≠ A^{t}.A.

ii) El producto de dos matrices simétricas, ¿es una matriz simétrica? iii) Si K = ℝ, probar que A = 0 ⟺ A.A^{t} = 0 ⟺ tr(A.A^{t}) = 0.

Ejercicio 10. Sea A = ( \begin{matrix}4 & −1 \\ 8 & −2 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{2×2}. i) Hallar b y c ∈ ℝ tales que A^{2} + b.A + c.I_{2} = 0. ii) Calcular A^{n} ∀ n ∈ ℕ.

Ejercicio 11. Sea A ∈ K^{2×2} con A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) y sea Δ = a.d − b.c. Probar que, si Δ ≠ 0,

A ∈ GL(2, K) y A^{−1} = \frac{1}{Δ} . ( \begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix} ).

Ejercicio 12. Sea A ∈ GL(n, K) y B , C ∈ K^{n×m}. Probar:

i) A.B = A.C ⇒ B = C

ii) A.B = 0 ⇒ B = 0

Ejercicio 13. Decidir si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. i) A , B ∈ GL(n, K) ⇒ A + B ∈ GL(n, K) ii) A ∈ GL(n, K) ⟺ A^{t} ∈ GL(n, K) iii) tr(A) = 0 ⇒ A ∉ GL(n, K) iv) A nilpotente (es decir, ∃ j ∈ ℕ / A^{j} = 0) ⇒ A ∉ GL(n, K)

Ejercicio 14. Sea A ∈ K^{m×n} y sea b ∈ K^{m}. Sea H = {x ∈ K^{n} / A.x = b}. Probar: i) Si C ∈ GL(m, K), entonces H = {x ∈ K^{n} / (C.A).x = C.b}. ii) Si m = n y A ∈ GL(n, K), entonces H tiene un solo elemento. ¿Cuál es? (Notar que esto

significa que si A es inversible, cualquier sistema lineal cuya matriz asociada sea A tiene solución única).

Ejercicio 15. Para cada i, j (1 ≤ i, j ≤ n), sea E^{ij} ∈ K^{n×n} la matriz:

(E^{ij})_{kl} = \{ \begin{matrix}1 & si i = k y j = l \\ 0 & si no \end{matrix}

Las matrices E^{ij} se llaman matrices canónicas de K^{n×n}.

i) Si a ∈ K − {0} y 1 ≤ i ≤ n, se define M_{i}(a) ∈ K^{n×n} como

M_{i}(a) = E^{11} + E^{22} + ... + a.E^{ii} + E^{(i+1)(i+1)} + ... + E^{nn} = I_{n} + (a − 1).E^{ii}. Escribir todas las posibles M_{i}(a) para n = 2, 3, 4 (a ∈ K).

ii) Sean 1 ≤ i, j ≤ n, con i ≠ j. Se define la matriz P^{ij} ∈ K^{n×n} como la matriz que se obtiene

permutando la fila i con la fila j de la matriz identidad. Comprobar que

P^{ij} = I_{n} − E^{ii} − E^{jj} + E^{ij} + E^{ji}.

Escribir todas las posibles P^{ij} para n = 2, 3, 4. iii) Sean 1 ≤ i, j ≤ n, con i ≠ j y a ∈ K. Se define la matriz T^{ij}(a) ∈ K^{n×n} como

T^{ij}(a) = I_{n} + a.E^{ij}.

Escribir todas las posibles T^{ij}(a) para n = 2, 3, 4 (a ∈ K). Las matrices M_{i}(a) , P^{ij} y T^{ij}(a) se llaman matrices elementales de K^{n×n}.

Ejercicio 16. Sean M_{i}(a) , P^{ij} y T^{ij}(a) las matrices elementales de K^{n×n}. Probar: i) M_{i}(a) ∈ GL(n, K) con (M_{i}(a))^{−1} = M_{i}(a^{−1}) ii) P^{ij} ∈ GL(n, K) con (P^{ij})^{−1} = P^{ij} iii) T^{ij} ∈ GL(n, K) con (T^{ij}(a))^{−1} = T^{ij}(−a)

Ejercicio 17.

i) Sea A = T^{12}(1) ∈ ℝ^{2×2}. Calcular A^{20} y 20.A.

ii) Calcular (P^{ij})^{15} y (P^{ij})^{16}. iii) Sea B = M_{3}(2) ∈ ℝ^{4×4}. Calcular B^{20} y 20.B.

Ejercicio 18. Averiguar si las siguientes matrices son inversibles y en caso afirmativo exhibir sus inversas.

i) A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  ii) A = ( \begin{matrix}cos θ & −sen θ & 0 \\ sen θ & cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  iii) A = ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & −2 & 3 \\ 3 & 1 & −1 & 3 \end{matrix} )

iv) A = ( \begin{matrix}2 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & −1 & 8 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} )  v) A = ( \begin{matrix}a_{11} & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{22} & … & 0 \\ … & … & … & … \\ 0 & 0 & … & a_{nn} \end{matrix} )

Escribir las que sean inversibles como producto de matrices elementales.

Ejercicio 19. Sea A ∈ K^{n×n} y sea b ∈ K^{n}.

i) Probar que el sistema A.x = b tiene solución única ⟺ A ∈ GL(n, K).

ii) Probar que A ∈ GL(n, K) ⟺ las filas de A son linealmente independientes ⟺ las columnas de A son linealmente independientes.

Ejercicio 20. Sean M ∈ K^{n×m}, A ∈ GL(n, K) y S ⊆ K^{n} subespacio.

i) Probar que A.S = {A.x / x ∈ S} es un subespacio de K^{n} y que dim(S) = dim(A.S). Deducir que r_{c}(M) = r_{c}(A.M).

ii) Probar que r_{f}(M) = r_{c}(M).

Ejercicio 21. Sea A ∈ K^{n×n}. Probar que:

∃ B ∈ K^{n×n}/ B.A = I_{n} ⟺ A ∈ GL(n, K).

Deducir que ∃ B ∈ K^{n×n}/ A.B = I_{n} ⟺ A ∈ GL(n, K).

Ejercicio 22. Encontrar las coordenadas de v ∈ V respecto de la base B en los siguientes casos: i) V = K^{n}; v = (x_{1}, …, x_{n}) y B la base canónica ii) V = ℝ^{3} ; v = (1, 2, −1) y B = {(1, 2, −1), (0, 1, 1), (0, 0, 2)} iii) V = ℝ^{3} ; v = (1, −1, 2) y B = {(1, 2, −1), (2, 1, 3), (1, 3, 2)} iv) V = ℝ^{3} ; v = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) y B = {(1, 2, −1), (2, 1, 3), (1, 3, 2)}

v) V = ℝ_{3}[X] ; v = 2X^{2} − X^{3} y B = {3 , 1 + X , X^{2} + 5 , X^{3} + X^{2}}

vi) V = ℝ^{2×2} ; v = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) y B = \{( \begin{matrix}1 & 3 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 4 \\ 3 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 5 \end{matrix} )\}

Ejercicio 23. Calcular C(B, B′) en los siguientes casos:

i) V = ℝ^{2}, B = {(1, 1), (1, 2)} , B′ = {(−1, 3), (2, 5)} ii) V = ℝ^{3}, B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} , B′ = {(−1, 1, 1), (2, 0, 1), (1, −1, 3)} iii) V = ℝ^{3}, B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} , B′ = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} iv) V = ℝ_{2}[X], B = {3 , 1 + X , X^{2}} , B′ = {1 , X + 3 , X^{2} + X}

v) V = ℝ^{4}, B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}} , B′ = {v_{3}, v_{1}, v_{4}, v_{2}}

vi) V = ℝ^{2×2}, B = {E^{11}, E^{12}, E^{21}, E^{22}} ,

B′ = \{( \begin{matrix}1 & 3 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 4 \\ 3 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 5 \end{matrix} )\}

Ejercicio 24. Dado v ∈ V y las bases B y B′, hallar las coordenadas de v respecto de B y utilizando la matriz de cambio de base, las coordenadas de v respecto de B′.

i) v = (2, 3) y B, B′ como en el Ejercicio 24, i)

ii) v = (−1, 5, 6) y B, B′ como en el Ejercicio 24, ii) iii) v = (−1, 5, 6) y B, B′ como en el Ejercicio 24, iii) iv) v = 2.v_{1} + 3.v_{2} − 5.v_{3} + 7.v_{4} y B, B′ como en el Ejercicio 24, v)

v) v = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) y B, B′ como en el Ejercicio 24, vi)

Ejercicio 25.

i) Sean A , B ∈ K^{n×n} tales que, ∀ x ∈ K^{n}, A.x = B.x. Probar que A = B.

ii) Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y sean B, B′ y B′′ bases de V. Probar que

C(B, B′′) = C(B′, B′′).C(B, B′). iii) Deducir que C(B, B′) ∈ GL(n, K) con C(B, B′)^{−1} = C(B′, B).

Ejercicio 26. Dadas la matriz M = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) y la base B = \{v_{1}, v_{2}, v_{3}\} de K^{3}, hallar una base B′ tal que M = C(B, B′).

Ejercicio 27. Dadas la matriz M = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) y la base B′ = \{v_{1}, v_{2}, v_{3}\} de K^{3}, hallar una base B tal que M = C(B, B′).