ALGEBRA LINEAL - Práctica N^{∘}3 - Segundo Cuatrimestre de 2006 Transformaciones lineales

Ejercicio 1. Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales.

i) f : ℝ^{3} → ℝ^{2}, f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{2} − 3.x_{1} + \sqrt{2}.x_{3} , x_{1} − \frac{1}{2}.x_{2}) ii) f : ℝ^{2} → ℝ^{3}, f(x_{1}, x_{2}) = (x_{1} − x_{2} , 2.x_{2} , 1 + x_{1}) iii) f : ℝ^{3} → ℝ^{3}, f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (2.x_{1} − 7.x_{3} , 0 , 3.x_{2} + 2.x_{3}) iv) f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, f(x_{1}, x_{2}) = (x_{1} + x_{2} , |x_{1}|)

v) f : ℂ → ℂ , f(z) = i.z (considerando a ℂ como ℝ-espacio vectorial y como ℂ-espacio vectorial)

vi) f : ℂ → ℂ , f(z) = i.Im(z) (considerando a ℂ como ℝ-espacio vectorial y como ℂ-espacio

vectorial) vii) f : ℂ → ℂ , f(z) = \overline{z} (considerando a ℂ como ℝ-espacio vectorial y como ℂ-espacio vectorial)

viii) f : ℝ^{2×2} → ℝ , f ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) = a_{11}.a_{22} − a_{12}.a_{21}

ix) f : ℝ^{2×3} → ℝ^{3}, f ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{matrix} ) = (3.a_{13} − a_{23} , a_{11} + 2.a_{22} − a_{23} , a_{22} − a_{12})

x) f : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×3}, f ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a_{22} & 0 & a_{12} + a_{21} \\ 0 & a_{11} & a_{22} − a_{11} \end{matrix} )

xi) f : ℂ^{2×2} → ℂ^{2×2}, f ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a_{11} & \overline{a_{12}} \\ \overline{a_{21}} & a_{22} \end{matrix} ) (considerando a ℂ^{2×2} como ℝ-espacio

vectorial y como ℂ-espacio vectorial)

Ejercicio 2. Interpretar geométricamente las siguientes aplicaciones lineales f : ℝ^{2} → ℝ^{2}. i) f(x, y) = (x, 0) ii) f(x, y) = (0, y) iii) f(x, y) = (x, −y) iv) f(x, y) = (\frac{1}{2}.(x + y), \frac{1}{2}.(x + y))

v) f(x, y) = (x.cos t − y.sen t , x.sen t + y.cos t)

Ejercicio 3.

i) Encontrar una función f : V → V (para un K-espacio vectorial V conveniente) que cumpla f(v + w) = f(v) + f(w) para cualquier par de vectores v , w ∈ V pero que no sea una transformación lineal. ii) Encontrar una función f : V → V (para un K-espacio vectorial V conveniente) que cumpla

f(k.v) = k.f(v) para cualquier escalar k ∈ K y cualquier vector v ∈ V pero que no sea una transformación lineal.

Ejercicio 4. Probar la linealidad de las siguientes aplicaciones: i) tr : K^{n×n} → K ii) t : K^{n×m} → K^{m×n}, t(A) = A^{t} iii) f : K^{n×m} → K^{r×m}, f(A) = B.A donde B ∈ K^{r×n} iv) δ : C^{∞}(ℝ) → C^{∞}(ℝ), δ(f) = f′

v) ϵ_{α} : K[X] → K, ϵ_{α}(f) = f(α) donde α ∈ K vi) s : K^{ℕ} → K^{ℕ}, s({a_{i}}_{i∈ℕ}) = (0, a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, …)

Ejercicio 5.

i) Probar que existe una única transformación lineal f : ℝ^{2} → ℝ^{2} tal que f(1, 1) = (−5, 3) y f(−1, 1) = (5, 2). Para dicha f, determinar f(5, 3) y f(−1, 2).

ii) ¿Existirá una transformación lineal f : ℝ^{2} → ℝ^{2} tal que f(1, 1) = (2, 6); f(−1, 1) = (2, 1) y

f(2, 7) = (5, 3)? iii) Sean f, g : ℝ^{3} → ℝ^{3} transformaciones lineales tales que

\begin{matrix}f(1, 0, 1) = (1, 2, 1), & f(2, 1, 0) = (2, 1, 0), & f(−1, 0, 0) = (1, 2, 1), \\ g(1, 1, 1) = (1, 1, 0), & g(3, 2, 1) = (0, 0, 1), & g(2, 2, −1) = (3, −1, 2). \end{matrix}

Determinar si f = g. iv) Hallar todos los a ∈ ℝ para los cuales exista una transformación lineal f : ℝ^{3} → ℝ^{3} que

satisfaga que f(1, −1, 1) = (2, a, −1) , f(1, −1, 2) = (a^{2}, −1, 1) y f(1, −1, −2) = (5, −1, −7).

v) Hallar una fórmula para todas las tranformaciones lineales f : ℝ_{3}[X] → ℝ^{3} que satisfacen f(X^{3}+2X^{2}−X+4) = (6, 5, 3), f(3X^{2}+2X−5) = (0, 0, −3), f(X^{3}−2X^{2}+3X−2) = (0, −1, 1) y f(2X^{3} − 3X^{2} + 7) = (6, 4, 7).

Ejercicio 6.

i) Calcular bases del núcleo y de la imagen para cada tranformación lineal del ejercicio 1. Decidir, en cada caso, si f es epimorfismo, monomorfismo o isomorfismo. En el caso que sea isomorfismo, calcular f^{−1}.

ii) Clasificar las transformaciones lineales tr , t , δ , ϵ_{α} y s del ejercicio 4 en epimorfismos, monomorfismos e isomorfismos.

Ejercicio 7. Sean f : ℝ^{3} → ℝ^{4}, f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2}, x_{1} + x_{3}, 0, 0) y g : ℝ^{4} → ℝ^{2}, g(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (x_{1} − x_{2}, 2x_{1} − x_{2}). Calcular el núcleo y la imagen de f, de g y de g ∘ f. Decidir si son monomorfismos, epimorfismos o isomorfismos.

Ejercicio 8. Sean g : V → V′ y f : V′ → V′′ transformaciones lineales. Probar:

i) Nu(g) ⊆ Nu(f ∘ g).

ii) Si Nu(f) ∩ Im(g) = {0}, entonces Nu(g) = Nu(f ∘ g). iii) Im(f ∘ g) ⊆ Im(f). iv) Si Im(g) = V′, entonces Im(f ∘ g) = Im(f).

Ejercicio 9.

i) Sean S, T ⊂ ℝ^{4} definidos por S = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})/ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0} y T = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) / 2.x_{1} + x_{4} = 0 , x_{2} − x_{3} = 0}. ¿Existirá algún isomorfismo f : ℝ^{4} → ℝ^{4} tal que f(S) = T?

ii) ¿Existirá algún monomorfismo f : ℝ^{3} → ℝ^{2}? iii) ¿Existirá algún epimorfismo f : ℝ^{2} → ℝ^{3}? iv) Sean v_{1} = (1, 0, 1, 0), v_{2} = (1, 1, 1, 0) y v_{3} = (1, 1, 1, 1). ¿Existirá alguna transformación lineal

f : ℝ^{2} → ℝ^{4} tal que {v_{1}, v_{2}, v_{3}} ⊂ Im(f)?

Ejercicio 10. Determinar si existe (y en caso afirmativo hallar) una transformación lineal f : ℝ^{3} → ℝ^{4} que verifique Im(f) = S y Nu(f) = T en los siguientes casos:

i) S = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})/x_{1} + x_{2} − x_{3} + 2.x_{4} = 0}, T = < (1, 2, 1) > ii) S = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})/x_{1} + x_{2} = 0, x_{3} + x_{4} = 0}, T = < (1, −2, 1) >

Ejercicio 11. En cada uno de los siguientes casos encontrar una transformación lineal f : ℝ^{3} → ℝ^{3} que verifique lo pedido:

i) (1, 1, 0) ∈ Nu(f) y dim(Im(f)) = 1

ii) Nu(f) ∩ Im(f) = < (1, 1, 2) > iii) f ≠ 0 y Nu(f) ⊆ Im(f) iv) f ≠ 0 y f ∘ f = 0

v) f ≠ Id y f ∘ f = Id vi) Nu(f) ≠ {0}, Im(f) ≠ {0} y Nu(f) ∩ Im(f) = {0} Ejercicio 12. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y sea B = {v_{1}, …, v_{n}} una base de V. Se define la aplicación α_{B} : V → K^{n} de la siguiente manera:

Si v = ∑_{i=1}^{n} x_{i}v_{i} , α_{B}(v) = [v]_{B} = (x_{1}, …, x_{n}).

Probar que α_{B} es un isomorfismo. Observar que, teniendo en cuenta que la aplicación α_{B} es tomar coordenadas en la base B, esto nos permite trabajar con coordenadas en una base en el siguiente sentido:

i) {w_{1}, …, w_{s}} es linealmente independiente en V ⟺ {α_{B}(w_{1}), …, α_{B}(w_{s})} es linealmente independiente en K^{n}.

ii) {w_{1}, …, w_{r}} es un sistema de generadores de V ⟺ {α_{B}(w_{1}), …, α_{B}(w_{r})} es un sistema de generadores de K^{n}.

iii) {w_{1}, …, w_{n}} es una base de V ⟺ {α_{B}(w_{1}), …, α_{B}(w_{n})} es una base de K^{n}.

Por ejemplo, para decidir si {X^{2} − X + 1, X^{2} − 3.X + 5, 2.X^{2} + 2.X − 3} es una base de ℝ_{2}[X], bastará ver si {(1, −1, 1), (1, −3, 5), (2, 2, −3)} es una base de ℝ^{3} para lo que se puede usar el método de triangulación. Rehacer los items ii) y iii) de los ejercicios 34 y 35 de la práctica N^{∘}1 utilizando coordenadas.

Ejercicio 13. Sea V un K-espacio vectorial y sea f : V → V una transformación lineal. Probar que f ∘ f = f ⟺ f(v) = v ∀ v ∈ Im(f). Una transformación lineal que cumple esto se llama proyector.

Ejercicio 14. En cada uno de los siguientes casos construir un proyector f : ℝ^{3} → ℝ^{3} que cumpla:

i) Im(f) = {(x_{1}, x_{2}, x_{3})/x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0}

ii) Nu(f) = {(x_{1}, x_{2}, x_{3})/x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0}

iii) Nu(f) = {(x_{1}, x_{2}, x_{3})/3.x_{1} − x_{3} = 0} e Im(f) = < (1, 1, 1) >

Ejercicio 15. Sea V un K-espacio vectorial y sea f : V → V un proyector. Probar:

i) V = Nu(f) ⊕ Im(f)

ii) g = id_{V} − f es un proyector con Im(g) = Nu(f) y Nu(g) = Im(f)

Ejercicio 16. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y sean S y T subespacios de V tales que V = S ⊕ T. Probar que existe un único proyector f : V → V tal que Nu(f) = S e Im(f) = T.

Ejercicio 17. Sea V un K-espacio vectorial y sea f : V → V una transformación lineal. Se dice que f es nilpotente si ∃ s ∈ ℕ / f^{s} = 0.

i) Probar que si f es nilpotente, entonces f no es ni monomorfismo ni epimorfismo. ii) Si V es de dimensión n probar que f es nilpotente ⟺ f^{n} = 0.

(Sugerencia: considerar si las inclusiones Nu(f^{i}) ⊆ Nu(f^{i+1}) son estrictas o no). iii) Sea B = {v_{1}, …, v_{n}} una base de V. Se define la transformación lineal f : V → V de la

siguiente forma:

f(v_{i}) = \{ \begin{matrix}v_{i+1} & si 1 ≤ i ≤ n − 1 \\ 0 & si i = n \end{matrix}

Probar que f^{n} = 0 y f^{n−1} ≠ 0. iv) Si V = ℝ^{n}, para cada i , 2 ≤ i ≤ n construir una transformación lineal nilpotente f : ℝ^{n} → ℝ^{n}

tal que f^{i} = 0 y f^{i−1} ≠ 0.

Ejercicio 18. Sea S = < (1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 1) > ⊆ ℝ^{4}.

i) Hallar una transformación lineal f : ℝ^{4} → ℝ^{2} tal que Nu(f) = S. ii) Hallar ecuaciones para S (usar i)). iii) Hallar un sistema de ecuaciones lineales cuyo conjunto de soluciones sea

< (1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 1) > + (0, 1, 1, 2).

Ejercicio 19.

i) Sea S ⊆ K^{n} el conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo. Encontrar una transformación lineal f : K^{n} → K^{n} tal que Nu(f) = S.

ii) Sea T ⊆ K^{n} el conjunto de soluciones de un sistema lineal no homogéneo. Encontrar una transformación lineal f : K^{n} → K^{n} y x ∈ K^{n} tales que T = f^{−1}(x).

Ejercicio 20. Sea f : V → V una tranformación lineal y sean B, B′ bases de V. Calcular [f]_{BB′} en cada uno de los siguientes casos:

i) V = ℝ^{3}, f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (3.x_{1} − 2.x_{2} + x_{3}, 5.x_{1} + x_{2} − x_{3}, x_{1} + 3.x_{2} + 4.x_{3}), B = B′ la base canónica de ℝ^{3}

ii) V = ℝ^{3}, f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (3.x_{1} − 2.x_{2} + x_{3}, 5.x_{1} + x_{2} − x_{3}, x_{1} + 3.x_{2} + 4.x_{3}),

B = {(1, 2, 1), (−1, 1, 3), (2, 1, 1)} y B′ = {(1, 1, 0), (1, 2, 3), (−1, 3, 1)} iii) V = ℂ^{2}, f(x_{1}, x_{2}) = (2.x_{1} − i.x_{2}, x_{1} + x_{2}), B = B′ es la base canónica de ℂ^{2} como ℂ-espacio

vectorial. iv) V = ℂ^{2}, f(x_{1}, x_{2}) = (2.x_{1} − i.x_{2}, x_{1} + x_{2}), B = B′ = {(1, 0), (0, 1), (i, 0), (0, i)} considerando

a ℂ^{2} como ℝ-espacio vectorial.

v) V = ℝ_{4}[X], f(P) = P′, B = B′ = {1, X, X^{2}, X^{3}, X^{4}} vi) V = ℝ_{4}[X], f(P) = P′, B = B′ = {X^{4}, X^{3}, X^{2}, X, 1} vii) V = ℝ_{4}[X], f(P) = P′, B = {1, X, X^{2}, X^{3}, X^{4}} y B′ = {X^{4}, X^{3}, X^{2}, X, 1} viii) V = ℝ^{2×2}, f(A) = A^{t}, B = B′ la base canónica de ℝ^{2×2}. ix) V, f y B = B′ como en el ejercicio 17, iii)

Ejercicio 21. Sean B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}} una base de ℝ^{3} y B′ = {w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}} una base de ℝ^{4}. Sea f : ℝ^{3} → ℝ^{4} la transformación lineal tal que

[f]_{BB′} = ( \begin{matrix}1 & −2 & 1 \\ −1 & 1 & −1 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & −2 & 5 \end{matrix} )

i) Hallar f(3.v_{1} + 2.v_{2} − v_{3}) ¿Cuáles son sus coordenadas en la base B′?

ii) Hallar una base de Nu(f) y una base de Im(f).

iii) Describir el conjunto f^{−1}(w_{1} − 3.w_{3} − w_{4}).

Ejercicio 22. Sea A ∈ K^{m×n} y θ_{A} : K^{n} → K^{m} la transformación lineal definida por θ_{A}(x) = A.x. Si E y E′ son las bases canónicas de K^{n} y de K^{m} respectivamente, probar que |θ_{A}|_{EE′} = A.

Ejercicio 23. Sean V y W K-espacios vectoriales y sea

Hom(V, W) = {f : V → W / f es lineal}.

i) Probar que Hom(V, W) es un K-espacio vectorial con las operaciones naturales.

ii) Si dim V = n y dim W = m, sean B y B′ bases de V y de W respectivamente. Sea T : Hom(V, W) → K^{m×n} la aplicación definida por T (f) = [f]_{BB′}. Probar que T es lineal y que es un isomorfismo. Calcular dim(Hom(V, W)).

Ejercicio 24. Sean V, W y U K-espacios vectoriales de dimensión finita y sean B, B′ y B′′ bases de V, W y U respectivamente. Se consideran las transformaciones lineales f : V → W y g : W → U. Probar que [g ∘ f]_{BB′′} = [g]_{B′B′′}.[f]_{BB′}.

Ejercicio 25. Sean V y W K-espacios vectoriales de dimensión finita y sea f : V → W lineal. Si B y B′ son bases de V, y U y U′ son bases de W, deducir del ejercicio anterior que [f]_{B′U′} = C(U, U′).[f]_{BU}.C(B′, B).

Ejercicio 26. Sea V un K-espacio vectorial y B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}} una base de V. Sea f : V → V la transformación lineal tal que

[f]_{B} = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

i) Calcular [f^{−1}]_{B}

ii) Calcular f^{−1}(v_{1} − 2.v_{2} + v_{4})

Ejercicio 27. En cada uno de los siguientes casos, hallar una matriz A ∈ ℝ^{n×n} para un n adecuado que verifique:

i) A ≠ I_{n} y A^{3} = I_{n}

ii) A ≠ 0; A ≠ I_{n} y A^{2} = A

Ejercicio 28. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y sea B una base de V.

i) Sea tr : Hom(V, V) → K la aplicación definida por tr(f) = tr([f]_{B}). Probar que tr(f) no depende de la base B elegida. tr(f) se llama la traza del endomorfismo f.

ii) Probar que tr : Hom(V, V) → K es una transformación lineal.

Ejercicio 29. Sean B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}}, U = {v_{1} + v_{3}, v_{1} + 2.v_{2} + v_{3}, v_{2} + v_{3}} y U′ = {w_{1}, w_{2}, w_{3}} bases de ℝ^{3}, y sea E la base canónica de ℝ^{3}. Sea f : ℝ^{3} → ℝ^{3} la transformación lineal tal que

[f]_{BE} = ( \begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} )  y  [f]_{UU′} = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Determinar U′.

Ejercicio 30.

i) Sea f : ℝ^{4} → ℝ^{4} la trasformación lineal definida por

f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, x_{1}, x_{1} + x_{2}, x_{1} + x_{2} + x_{3}) y sea v = (1, 0, 0, 0). Probar que B = {v, f(v), f^{2}(v), f^{3}(v)} es una base de ℝ^{4}. Calcular [f]_{B}.

ii) Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y sea f : V → V una tranformación lineal tal

que f^{n} = 0 y f^{n−1} ≠ 0. Probar que existe una base B de V tal que

([f]_{B})_{ij} = \{ \begin{matrix}1 & si i = j + 1 \\ 0 & si no \end{matrix}

(Sugerencia: elegir v_{1} ∉ Nu(f^{n−1})).

Ejercicio 31. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y sea f : V → V un proyector. Probar que existe una base B de V tal que

([f]_{B})_{ij} = \{ \begin{matrix}1 & si i = j ; i ≤ dim(Im(f)) \\ 0 & si no \end{matrix}

(Sugerencia: ver Ejercicio 15.)

Ejercicio 32. Sea f : ℝ^{5} → ℝ^{4} definida por

f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) = (2.x_{1} − x_{5}, x_{2} + 2.x_{3}, x_{1} + x_{4} + x_{5}, −x_{1} + x_{4} + x_{5}).

Encontrar bases B y B′ de ℝ^{5} y ℝ^{4} respectivamente tales que [f]_{BB′} sea una matriz diagonal.

Ejercicio 33. Sean V y W K-espacios vectoriales, dim V = n y dim W = m, y f : V → W una transformación lineal tal que dim(Im(f)) = s. Probar que existen una base B de V y una base B′ de W tal que

([f]_{BB′})_{ij} = \{ \begin{matrix}1 & si i = j ; i ≤ s \\ 0 & si no \end{matrix}

Ejercicio 34. Sea f : ℝ^{3} → ℝ^{3} definida por f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2} − x_{3}, 2.x_{1} − 3.x_{2} + 2.x_{3}, 3.x_{1} − 2.x_{2} + x_{3}).

i) Determinar bases B y B′ de ℝ^{3} tales que

[f]_{BB′} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

ii) Si A es la matriz de f en la base canónica, encontrar matrices C, D ∈ GL(3, ℝ) tales que

C.A.D = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Ejercicio 35. Calcular el rango de las siguientes matrices:

i) A = ( \begin{matrix}2 & 0 & 3 & −1 \\ 1 & −2 & 1 & 0 \\ −1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} )  ii) A = ( \begin{matrix}0 & 5 & 3 \\ 1 & −1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} )

iii) A = ( \begin{matrix}3 & −1 & 0 & 1 & 2 \\ −1 & 0 & 4 & −1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 3 & 1 \end{matrix} )  iv) A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} )

Ejercicio 36. Calcular el rango de A ∈ ℝ^{3×3} para cada k ∈ ℝ siendo

A = ( \begin{matrix}1 & −k & −1 \\ −1 & 1 & k^{2} \\ 1 & k & k − 2 \end{matrix} ) .

Ejercicio 37.

i) Sea A ∈ K^{m×n} y sea S = {x ∈ K^{n} / A.x = 0}. Probar que rg(A) + dim(S) = n.

(Esto significa que la dimensión del espacio de soluciones es igual a la cantidad de incógnitas menos la cantidad de ecuaciones independientes).

ii) Sean A ∈ K^{m×n}, b ∈ K^{m}. Se considera el sistema A.x = b y sea (A | b) su matriz ampliada. Probar que A.x = b tiene solución ⟺ rg(A) = rg(A | b).

Ejercicio 38. Sea A ∈ K^{m×n}, rg(A) = s y sea T = {x ∈ K^{n×r}/ A.x = 0}. Calcular la dimensión de T.

Ejercicio 39. Sean A ∈ K^{m×n} y B ∈ K^{n×r}. Probar que rg(A.B) ≤ rg(A) y rg(A.B) ≤ rg(B).

Ejercicio 40. Sean A ∈ K^{m×n}, C ∈ GL(m, K) y D ∈ GL(n, K).

i) Probar que rg(C.A) = rg(A) = rg(A.D).

ii) Deducir que rg(C.A.D) = rg(A).

Ejercicio 41. Sean A, B ∈ K^{m×n}. Se dice que A es equivalente a B ( y se nota A ≡ B) si existen C ∈ GL(m, K) y D ∈ GL(n, K) tales que A = C.B.D. Probar que ≡ es una relación de equivalencia en K^{m×n}.

Ejercicio 42. Sean A, D ∈ ℝ^{3×3},

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ 2 & −3 & 2 \\ 3 & −2 & 1 \end{matrix} )  y  D = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ −1 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

i) Determinar C_{1} , C_{2} , C_{3} y C_{4} ∈ GL(3, ℝ) tales que

C_{1}.A.C_{2} = C_{3}.D.C_{4} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

(Sugerencia: ver Ejercicio 34.)

ii) Determinar f ∈ Hom(ℝ^{3}, ℝ^{3}) y bases B, B′, B_{1} y B′_{1} de ℝ^{3} tales que

[f]_{BB′} = A  y  [f]_{B_{1}B′_{1}} = D

Ejercicio 43. Sean A , C ∈ K^{m×n}. Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) A ≡ C.

ii) ∃ f : K^{n} → K^{m} tranformación lineal, bases B y B_{1} de K^{n} y bases B′ y B′_{1} de K^{m} tales que [f]_{BB′} = A y [f]_{B_{1}B′_{1}} = C.

iii) rg(A) = rg(C).

Ejercicio 44. Dadas A, B ∈ ℝ^{n×n}, decidir si existen matrices P , Q ∈ GL(n, ℝ) tales que A = P.B.Q.

i) n = 2; A = ( \begin{matrix}2 & 5 \\ 1 & 3 \end{matrix} ); B = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ −1 & 1 \end{matrix} )

ii) n = 2; A = ( \begin{matrix}2 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} ); B = ( \begin{matrix}5 & 8 \\ 1 & 2 \end{matrix} )

iii) n = 3; A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ); B = ( \begin{matrix}3 & 8 & 5 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \end{matrix} )

iv) n = 3; A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{matrix} ); B = ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix} )

Ejercicio 45. Sean A, B ∈ K^{n×n}. Se dice que A es semejante a B (y se nota A ∼ B) si existe C ∈ GL(n, K) tal que A = C.B.C^{−1}.

i) Demostrar que ∼ es una relación de equivalencia en K^{n×n}.

ii) Probar que dos matrices semejantes son equivalentes. ¿Vale la recíproca?

Ejercicio 46. Sean A, C ∈ K^{n×n}. Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) A ∼ C. ii) ∃ f : K^{n} → K^{n} tranformación lineal y bases B y B′ de K^{n} tales que [f]_{B} = A y [f]_{B′} = C

Ejercicio 47.

i) Sean A, C ∈ K^{n×n} tales que A ∼ C. Probar que tr(A) = tr(C).

ii) Sean A, C ∈ ℝ^{3×3}

A = ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 2 & 3 & −5 \\ 4 & 1 & 3 \end{matrix} )  y  C = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

¿Existen f ∈ Hom(ℝ^{3}, ℝ^{3}) y bases B y B′ de ℝ^{3} tales que [f]_{B} = A y [f]_{B′} = C?

Ejercicios de parciales

Ejercicio 1. Sea f : ℝ^{n×n} → ℝ^{n×n} la transformación lineal definida por f(A) = 4.A − 2 tr(A).I_{n}. i) Si n = 2, probar que Nu(f) ⊕ Im(f) = ℝ^{2×2}. ii) Si n ≥ 3, probar que f es un isomorfismo.

Ejercicio 2. Se consideran los siguientes subespacios de ℝ^{2×2}:

S = {A ∈ ℝ^{2×2}/ tr(A) = 0} y T = {B ∈ ℝ^{2×2}/ B = B^{t}}

Hallar una transformación lineal f : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×2} que satisfaga simultáneamente f(S) = T, f(T) = S y f(v) ≠ v , ∀ v ∈ T − {0}. (Justificar que la f hallada cumple todo lo pedido). Ejercicio 3. Dadas B = {X^{2} + X, X, X^{2} + X + 1} y B′ = {X^{2}, 1, X} bases de ℝ_{2}[X], se considera la transformación lineal f : ℝ_{2}[X] → ℝ_{2}[X] tal que

|f|_{B,B′} = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 2 & a & 1 \\ a & 1 & 2a − 2 \end{matrix} )

Encontrar todos los a, b ∈ ℝ para los que f cumple simultáneamente

dim(Nu(f)) = 1 y (b + 1).X + b ∈ Im(f).

Ejercicio 4. Sea A ∈ ℝ^{4×2} y sea B ∈ ℝ^{2×4} tales que rg(A) = rg(B) = 2. Probar que rg(A.B) = 2. Ejercicio 5. Se consideran los siguientes subespacios de ℝ_{3}[X]:

\begin{matrix}S = \{P ∈ ℝ_{3}[X]/P (1) = 0 ∧ P′(2) = 0\} \\ T =< X^{3} − 2X^{2} + 2X − 2 , 6X^{2} − 12X + 4 , 2X^{3} + 2X^{2} − 8X > \end{matrix}

i) Hallar una transformación lineal f : ℝ_{3}[X] → ℝ_{3}[X] que satisfaga simultáneamente f(S + T) = S ∩ T , Im(f) = T y f^{2} = 0.

ii) Sea H un subespacio de dimensión 3 de ℝ_{3}[X] tal que dim(H ∩ T) =1. Para cualquier transformación lineal f que cumpla las condiciones del ítem i) calcular f(H).