ALGEBRA LINEAL - Práctica N^{∘}5 - Segundo Cuatrimestre de 2006 Espacio Dual

Ejercicio 1. Sea S ⊆ (ℝ^{3})^{∗} el subespacio S = {φ ∈ (ℝ^{3})^{∗} / φ(1, −1, 2) = 0}. Encontrar una base de S.

Ejercicio 2. Dada la base B del K-espacio vectorial V, hallar su base dual en cada uno de los siguientes casos:

i) V = ℝ^{2}, B = {(1, −1), (2, 0)}

ii) V = ℝ^{3}, B = {(1, −1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} iii) V = ℝ_{3}[X], B = {−X + 2, X − 1, X^{2} − 3.X + 2, X^{3} − 3.X^{2} + 2.X}

Ejercicio 3. Sea B′ = {φ_{1}, φ_{2}, φ_{3}} la base de (ℝ^{3})^{∗} definida por

φ_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1} + x_{2} φ_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1} + x_{3} φ_{3}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{2} + x_{3} Hallar la base B de ℝ^{3} tal que B′ = B^{∗}.

Ejercicio 4. Sean f_{1} , f_{2} y f_{3} ∈ (ℝ_{2}[X])^{∗} las siguientes formas lineales:

f_{1}(p) = ∫_{0}^{1} p(x) dx  f_{2}(p) = ∫_{0}^{2} p(x) dx  f_{3}(p) = ∫_{−1}^{0} p(x) dx

i) Probar que {f_{1}, f_{2}, f_{3}} es una base de (ℝ_{2}[X])^{∗}.

ii) Hallar una base B de ℝ_{2}[X] tal que B^{∗} = {f_{1}, f_{2}, f_{3}}.

Ejercicio 5. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n.

i) Sean φ_{1}, φ_{2} ∈ V^{∗} − {0}. Demostrar que Nu(φ_{1}) = Nu(φ_{2}) ⟺ {φ_{1}, φ_{2}} es linealmente dependiente.

ii) Sean φ_{i} (1 ≤ i ≤ r) formas lineales en V^{∗} y sea φ ∈ V^{∗} tales que

φ_{1}(x) = φ_{2}(x) = … = φ_{r}(x) = 0 ⇒ φ(x) = 0.

Probar que φ ∈ < φ_{1}, …, φ_{r} >. iii) Sean φ_{i} (1 ≤ i ≤ n) formas lineales en V^{∗}. Probar que

{ φ_{1}, …, φ_{n} } es base de V^{∗} ⟺ ⋂_{i=1}^{n} Nu(φ_{i}) = 0

Ejercicio 6. Sea φ ∈ (ℝ^{3})^{∗} definida por φ(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2.x_{1} + 3.x_{2} − x_{3} y sea E^{∗} = {δ_{1}, δ_{2}, δ_{3}} ⊆ (ℝ^{3})^{∗} la base dual de la canónica.

i) Calcular las coordenadas de φ en E^{∗}.

ii) Calcular las coordenadas de φ en la base B^{∗} = {δ_{1} + δ_{2} + δ_{3}, δ_{1} + δ_{2}, δ_{1}}.

iii) Sea S ⊆ ℝ^{3} el subespacio S = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3}/ 2.x_{1} + 3.x_{2} − x_{3} = 0} y sea B ⊂ ℝ^{3} la base B = {(0, 0, 1), (0, 1, −1), (1, −1, 0)}. Encontrar una ecuación para S en la base B.

(Sugerencia: notar que B^{∗} es la base dual de B y no hacer ninguna cuenta.)

Ejercicio 7. Sea B ⊂ ℝ^{2} la base B = {(1, 1), (1, −1)}. Encontrar las coordenadas de la base dual de B en la base dual de la canónica.

Ejercicio 8. Sean B y B_{1} las bases de ℝ^{3} definidas por B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} y B_{1} = {(1, 1, −1), (1, −1, 1), (−1, 1, 1)}. Si φ ∈ (ℝ^{3})^{∗} tiene coordenadas (1, −3, 2) respecto de B^{∗}, calcular sus coordenadas respecto de B_{1}^{∗}.

Ejercicio 9. Hallar una base de S^{∘} ⊆ V^{∗} en los siguientes casos:

i) V = ℝ^{3} y S = < (1, −1, 2), (2, 1, 3), (1, 5, 0) >

ii) V = ℝ^{4} y S = < (1, 1, −1, 1), (2, −1, 3, 1) >

iii) V = ℝ^{3} y S = \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} / \{ \begin{matrix}x_{1} + x_{3} = 0 \\ 2.x_{1} − x_{2} + x_{3} = 0 \end{matrix} \}

iv) V = ℝ^{4} y S = \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℝ^{4} / \{ \begin{matrix}x_{1} − x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 \\ 2.x_{1} + x_{2} − 2.x_{3} + 3.x_{4} = 0 \\ 4.x_{1} − x_{2} + 5.x_{4} = 0 \end{matrix} \}

Ejercicio 10. Sea B = ( \begin{matrix}2 & −2 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{2×2} y sea W = \{A ∈ ℝ^{2×2}/ A.B = 0\}. Sea f ∈ W^{∘} tal

que f(I_{2}) = 0 y f ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = 3. Calcular f(B).

Ejercicio 11. Para los siguientes subespacios S y T de V, determinar una base de (S + T)^{∘} y una base de (S ∩ T)^{∘}.

i) V = ℝ^{4}, S = < (1, 1, −1, 1), (2, −1, 3, 1) > , T = < (2, −4, 8, 0), (−1, 1, 2, 3) >

ii) V = ℝ^{4}, S = \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) / \{ \begin{matrix}x_{1} − x_{3} = 0 \\ x_{1} + x_{2} + x_{4} = 0 \end{matrix} \} , T = < (2, 1, 3, 1) >

iii) V = ℝ^{3}, S = \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) / \{ \begin{matrix}x_{1} − 2.x_{2} + x_{3} = 0 \\ 3.x_{2} − 2.x_{3} = 0 \end{matrix} \} ,

T = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℝ^{4}/ 2.x_{1} − x_{2} = 0}

Ejercicio 12. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y sean S y T subespacios tales que V = S ⊕ T. Probar que V^{∗} = S^{∘} ⊕ T^{∘}.

Ejercicio 13. Sea V un ℤ_{p}-espacio vectorial de dimensión n. Probar que

#{S ⊆ V subespacio / dim(S) = 1} = #{S ⊆ V subespacio / dim(S) = n − 1}.

Calcular dicho número.

Ejercicio 14. Sea tr : K^{n×n} → K la forma lineal traza y dado a ∈ K^{n×n} se define f_{a} : K^{n×n} → K como f_{a}(x) = tr(a.x).

i) Probar que f_{a} ∈ (K^{n×n})^{∗} ∀ a ∈ K^{n×n}.

ii) Probar que f_{a}(x) = 0 ∀ x ∈ K^{n×n} ⇒ a = 0. iii) Se define γ : K^{n×n} → (K^{n×n})^{∗} como γ(a) = f_{a}. Probar que γ es un isomorfismo. iv) Sea f : ℝ^{2×2} → ℝ definida por:

f ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) = 3.a_{11} − 2.a_{12} + 5.a_{22}.

Encontrar una matrix a ∈ ℝ^{2×2}/ γ(a) = f.

Ejercicio 15. Sea φ ∈ (K^{n×n})^{∗} tal que φ(a.b) = φ(b.a) ∀ a, b ∈ K^{n×n}. Probar que ∃ α ∈ K tal que φ = α.tr. Deducir que si φ(a.b) = φ(b.a) ∀ a, b ∈ K^{n×n} y φ(I_{n}) = n entonces φ = tr.

Ejercicio 16. Sean α_{0}, …, α_{n} ∈ K, α_{i} ≠ α_{j} si i ≠ j. Para cada i, 0 ≤ i ≤ n, se define ϵ_{α_{i}} : K_{n}[X] → K como ϵ_{α_{i}}(P) = P (α_{i}).

i) Probar que B_{1} = {ϵ_{α_{0}}, …, ϵ_{α_{n}}} es una base de (K_{n}[X])^{∗}.

ii) Sea B = {P_{0}, …, P_{n}} la base de K_{n}[X] tal que B^{∗} = B_{1}. Probar que el polinomio

P = ∑_{i=0}^{n} β_{i}.P_{i}

es el único polinomio en K[X] de grado menor o igual que n tal que, ∀ i , 0 ≤ i ≤ n, P (α_{i}) = β_{i}. Este polinomio se llama el polinomio interpolador de Lagrange.

iii) Probar que existen números reales a_{0}, …, a_{n} tales que, para todo P ∈ ℝ_{n}[X],

∫_{0}^{1} P (x) dx = ∑_{i=0}^{n} a_{i}.P (α_{i}).

Hallar a_{0}, a_{1} y a_{2} en el caso en que n = 2, α_{0} = 1, α_{1} = \frac{1}{2} y α_{2} = 0.

Ejercicio 17. Sean V y W K-espacios vectoriales de dimensión finita y sea f : V → W una transformación lineal. Se define la función f^{t} : W^{∗} → V^{∗} de la siguiente manera:

f^{t}(φ) = φ ∘ f ∀ φ ∈ W^{∗}.

f^{t} se llama la función transpuesta de f.

i) Probar que f^{t} es una tranformación lineal.

ii) Probar que (Im(f))^{∘} = Nu(f^{t}) y que Im(f^{t}) = (Nu(f))^{∘}. iii) Sean V = ℝ^{2} y W = ℝ^{3} y sea f(x_{1}, x_{2}) = (2.x_{1} − x_{2}, 3x_{1}, x_{1} − 2.x_{2}).

Si B = {(1, 2), (1, 3)} y B_{1} = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}, calcular |f|_{BB_{1}} y |f^{t}|_{B_{1}^{∗}B^{∗}}. iv) Si B y B_{1} son bases de V y W respectivamente, probar que

|f^{t}|_{B_{1}^{∗}B^{∗}} = (|f|_{BB_{1}})^{t}.

(*) Ejercicio 18. Sea V un ℂ-espacio vectorial. Sean f , g ∈ V^{∗} tales que f. g ∈ V^{∗}. Probar que f = 0 ó g = 0.

(*) Ejercicio 19. Sea V un ℂ-espacio vectorial de dimensión finita. Sean v_{1}, …, v_{n} ∈ V vectores no nulos. Probar que existe una forma lineal f ∈ V^{∗} / f(v_{i}) ≠ 0 ∀ i, 1 ≤ i ≤ n.