ALGEBRA LINEAL - Práctica N^{∘}7 - Segundo Cuatrimestre de 2006

Forma de Jordan

Ejercicio 1. Dadas las matrices A y A′ en K^{n×n}

A = ( \begin{matrix}0 & 0 & … & 0 & 0 \\ 1 & 0 & … & 0 & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 & 0 \\ ⋮ & & ... & & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 1 & 0 \end{matrix} )  y  A′ = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & 1 & … & 0 \\ ⋮ & & & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & 1 \\ 0 & 0 & 0 & … & 0 \end{matrix} )

i) Probar que ambas son nilpotentes y que A es semejante a A′.

ii) Dar bases B y B′ de ℝ_{n−1}[X] tal que la matriz de la derivación en la base B sea A y en la base B′ sea A′.

iii) Sea B una base de K^{n} y sea f : K^{n} → K^{n} tal que |f|_{B} = A. Probar que no existen subespacios propios f-invariantes S y T de K^{n} tales que K^{n} = S ⊕ T.

Ejercicio 2. Sean A_{i} (1 ≤ i ≤ 6) matrices en ℂ^{8×8} nilpotentes tales que m_{A_{i}} = X^{3} (1 ≤ i ≤ 6). ¿Es cierto que necesariamente dos de estas matrices son semejantes?

Ejercicio 3. Hallar la forma y una base de Jordan de la matriz A ∈ ℂ^{9×9}:

A = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Ejercicio 4. Sean A, B ∈ ℂ^{6×6} nilpotentes tales que m_{A} = m_{B} y rg(A) = rg(B). Probar que A y B son semejantes. ¿Es cierto esto en ℂ^{7×7}?

Ejercicio 5. Hallar la forma y una base de Jordan de la matriz A = (a_{ij}) ∈ ℂ^{n×n} donde

a_{ij} = \{ \begin{matrix}0 & si i ≤ j \\ 1 & si i > j \end{matrix}

Ejercicio 6.

i) Decidir si existe A ∈ ℂ^{8×8} nilpotente tal que rg(A) = 6, rg(A^{2}) = 4, rg(A^{3}) = 3, rg(A^{4}) = 1 y rg(A^{5}) = 0 simultáneamente. En caso afirmativo, exhibir una.

ii) Decidir si existe A ∈ ℝ^{16×16} tal que m_{A}(X) = X^{5}, rg(A) = 9, rg(A^{2}) = 5, rg(A^{3}) = 3, rg(A^{4}) = 1 y rg(A^{5}) = 0 simultáneamente. En caso afirmativo, exhibir una.

Ejercicio 7. Sea f : ℂ^{7} → ℂ^{7} una transformación lineal y sea B una base de ℂ^{7} tal que

|f|_{B} = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} ) .

i) Hallar X_{f} y m_{f}.

ii) Sea λ un autovalor de f tal que mult(λ, X_{f}) = m. Se definen E_{λ} = {v ∈ ℂ^{7}/ f(v) = λ.v} y V_{λ} = {v ∈ ℂ^{7}/ (λ. Id − f)^{m}(v) = 0} = Nu((λ. Id − f)^{m}). ¿Para qué autovalores λ de f se tiene que E_{λ} = V_{λ}?

iii) Para cada autovalor λ de f, ¿cuál es la menor potencia k tal que V_{λ} = Nu((λ. Id − f)^{k})? iv) Si λ es un autovalor de f, se nota f_{λ} a la restricción de f a V_{λ}. Calcular dim(Im(f_{λ})) y

dim(Im(f_{λ}^{2})) para cada λ.

Ejercicio 8. Sea V un K-espacio vectorial, sea f : V → V una transformación lineal y sea P ∈ K[X].

i) Probar que Nu(P (f)) e Im(P (f)) son subespacios invariantes por f.

ii) Probar que si un autovalor λ de f es raíz de P, entonces E_{λ} ⊆ Nu(P (f)). iii) Probar que si un autovalor λ de f no es raíz de P, entonces E_{λ} ⊆ Im(P (f)).

Ejercicio 9. Sean A y B ∈ ℂ^{2×2}. Probar que A es semejante a B si y sólo si X_{A} = X_{B} y m_{A} = m_{B}. ¿Es válida esta afirmación en ℂ^{3×3}? ¿Y en ℂ^{4×4}? Ejercicio 10. Hallar la forma y una base de Jordan de A ∈ ℂ^{n×n} en cada uno de los siguientes casos:

( \begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ −3 & −3 & 3 \\ −2 & −2 & 2 \end{matrix} ) ; ( \begin{matrix}3 & 0 & 8 \\ 3 & −1 & 6 \\ −2 & 0 & −5 \end{matrix} ) ; ( \begin{matrix}−4 & 2 & 10 \\ −4 & 3 & 7 \\ −3 & 1 & 7 \end{matrix} ) ; ( \begin{matrix}−2 & 8 & 6 \\ −4 & 10 & 6 \\ 4 & −8 & −4 \end{matrix} )

( \begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 3 & −3 & 6 \\ 2 & −2 & 4 \end{matrix} )  ;  ( \begin{matrix}3 & 1 & 0 & 0 \\ −4 & −1 & 0 & 0 \\ 7 & 1 & 2 & 1 \\ −17 & −6 & −1 & 0 \end{matrix} )  ;  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Ejercicio 11. Sea A ∈ ℝ^{4×4} la matriz

A = ( \begin{matrix}3 & 0 & 8 & a \\ 3 & −1 & 6 & 0 \\ −2 & 0 & −5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) .

i) Para cada a ∈ ℝ, calcular X_{A}, m_{A} y hallar la forma de Jordan de A.

ii) Para a = 2, hallar una base de Jordan para A.

Ejercicio 12. Sea V ⊆ C^{∞}(ℝ) el subespacio V = < e^{x}, x. e^{x}, x^{2}.e^{x}, e^{2x} >. Sea δ : V → V la transformación lineal definida por δ(f) = f′. Hallar la forma y una base de Jordan para δ.

Ejercicio 13. Sean A , B ∈ ℂ^{4×4} las matrices

A = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & −1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}0 & −1 & −1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} )

Decidir si A y B son semejantes.

Ejercicio 14. Sean A, B ∈ ℂ^{5×5} tales que X_{A} = X_{B} = (X − 1)^{3}.(X − 3)^{2} y m_{A} = m_{B}. Decidir si, necesariamente, A es semejante a B.

Ejercicio 15. Encontrar todas las formas de Jordan posibles de la matriz A ∈ ℂ^{n×n} en cada uno de los siguientes casos:

i) X_{A}(X) = (X − 2)^{4}(X − 3)^{2} ; m_{A}(X) = (X − 2)^{2}(X − 3)^{2}

ii) X_{A}(X) = (X − 7)^{5} ; m_{A}(X) = (X − 7)^{2}

iii) X_{A}(X) = (X − 2)^{7} ; m_{A}(X) = (X − 2)^{3}

iv) X_{A}(X) = (X − 3)^{4}(X − 5)^{4} ; m_{A}(X) = (X − 3)^{2}(X − 5)^{2}

Ejercicio 16. Sea A ∈ ℂ^{15×15} una matriz con autovalores λ_{1}, λ_{2} y λ_{3} y que cumple, simultáneamente:

rg(A − λ_{1}.I) = 13, rg(A − λ_{1}.I)^{2} = 11, rg(A − λ_{1}.I)^{3} = 10, rg(A − λ_{1}.I)^{4} = 10,
rg(A − λ_{2}.I) = 13, rg(A − λ_{2}.I)^{2} = 11, rg(A − λ_{2}.I)^{3} = 10, rg(A − λ_{2}.I)^{4} = 9,
rg(A − λ_{3}.I) = 13, rg(A − λ_{3}.I)^{2} = 12, rg(A − λ_{3}.I)^{3} = 11.

Hallar su forma de Jordan.

Ejercicio 17. Dar la forma de Jordan de una matriz A ∈ ℂ^{14×14} que verifica, simultáneamente:

m_{A} = (X − λ_{1})^{2}.(X − λ_{2}).(X − λ_{3})^{2}.(X − λ_{4})^{3} (con λ_{i} ≠ λ_{j} si i ≠ j),
rg(A − λ_{1}.I) = 11, rg(A − λ_{1}.I)^{2} = 10, rg(A − λ_{3}.I) = 12, rg(A − λ_{3}.I)^{2} = 10 y
rg(A − λ_{4}.I) = 13.

Ejercicio 18. Hallar la forma de Jordan de la matriz A ∈ ℂ^{n×n}:

( \begin{matrix}2 & 3 & 4 & 5 & … & n + 1 \\ 0 & 2 & 3 & 4 & … & n \\ 0 & 0 & 2 & 3 & … & n − 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & … & n − 2 \\ & ⋮ & & & & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & … & 2 \end{matrix} )

Ejercicio 19. Sean x, y ∈ ℂ^{n} y A ∈ ℂ^{n×n}, A = (a_{ij}) con a_{ij} = x_{i}.y_{j}.

i) Calcular todos los autovalores y autovectores de A.

ii) Calcular las posibles formas de Jordan de A.

Ejercicio 20. Sea A ∈ ℂ^{n×n}. Probar que A y A^{t} son semejantes.

Ejercicio 21. Si λ ∈ ℂ, sea J(λ, m) ∈ ℂ^{m×m} la matriz

J(λ, m) = ( \begin{matrix}λ & 0 & 0 & … & 0 \\ 1 & λ & 0 & … & 0 \\ 0 & 1 & λ & … & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 1 & λ \end{matrix} )

i) Calcular J(λ, m)^{k} para todo k ∈ ℕ. Generalizar para cualquier potencia de una matriz formada por bloques de Jordan. Sugerencia: J(λ, m) = λ I_{m} + J(0, m).

ii) Verificar que rg(J(λ, m)^{k} − λ^{k}I_{m}) = m − 1 para λ ≠ 0. iii) Si λ ≠ 0, hallar la forma de Jordan de J(λ, m)^{k} para cada k ∈ ℕ.

Ejercicio 22. Sea A ∈ ℂ^{6×6} una matriz tal que m_{A} = X^{6} y sea {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5}, v_{6}} una base de Jordan para A. Calcular la forma y una base de Jordan para las matrices A^{2}, A^{3}, A^{4} y A^{5}.

Ejercicio 23. Dada la matriz A = ( \begin{matrix}5 & 1 & 4 \\ −1 & 3 & −1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ), encontrar B ∈ ℚ^{3×3} tal que B^{2} = A.

(*) Ejercicio 24. Sean α, β ∈ ℝ. Se define la sucesión {a_{n}}_{n∈ℕ_{0}} de la siguiente manera:

\{ \begin{matrix}a_{0} = α , a_{1} = β \\ a_{n+2} = 4.a_{n+1} − 4.a_{n} & ∀ n ∈ ℕ_{0} \end{matrix}

Hallar una fórmula general para el término a_{n}, ∀ n ∈ ℕ_{0}. Sugerencia: Ver el razonamiento del ejercicio 8 de la práctica 6 e intentar modificarlo convenientemente utilizando el ejercicio 20 de esta práctica.

(*) Ejercicio 25. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

\{ \begin{matrix}x′_{1}(t) & = & 3 x_{1}(t) − x_{2}(t) \\ x′_{2}(t) & = & x_{1}(t) + x_{2}(t) \\ x′_{3}(t) & = & −x_{2}(t) + 2 x_{3}(t) \end{matrix}

con condiciones iniciales x_{1}(0) = 1, x_{2}(0) = 2, x_{3}(0) = 1.