Análisis II (C) - Programa
Analítico
- Supremo e ínfimo. Límite de sucesiones. El número e, la función
exponencial. Intervalos, conjuntos abiertos. Puntos de acumulación, conjuntos
cerrados. Límite funcional. Continuidad, continuidad uniforme. Propiedades de
funciones sobre compactos. Teoremas de Rolle y Lagrange. Regla de L'Hopital.
Formula de Taylor, funciones de Ck, forma del resto.
- Integral de Riemann. Teorema fundamental del cálculo. Convergencia
uniforme e integración. Integrales impropias. Series. Convergencia absoluta e
incondicional. Series alternadas, criterio de Leibnitz. Criterio integral.
Límite superior. Criterios de Cauchy y D'Alembert.
- Series de potencias, radio de convergencia. Integración y derivación.
Producto. Lema de Abel. Serie exponencial, binómica. Exponencial compleja.
- Descripción de propiedades relevantes de subconjuntos de R2,
R3, Rn. Conexión. Límite funcional. Continuidad.
Derivadas parciales y direccionales. Diferencial, caso de funciones
compuestas, regla de la cadena. Gradiente. Teoremas del valor medio. Derivadas
de orden superior, funciones Ck, C∞. Formula de Taylor.
Diferencial de segundo orden. Hessiano.
- Funciones definidas implícitamente, F(x,y)=0. Casos en tres variables.
Transformaciones. Uso de los teoremas de la función inversa y de funciones
implícitas. Curvas en R2, curvas y superficies en R3,
tangentes y normales. Coordenadas generalizadas.
- Extremos de funciones de varias variables, condiciones suficientes: formas
cuadráticas. Extremos ligados, multiplicadores de Lagrange
- Integrales múltiples. Integrales dobles. Integrales múltiples. Cambio de
variables en integrales múltiples. Convergencia uniforme. Integrales
impropias. Integrales dependientes de un parámetro. Integrales impropias
dependientes de un parámetro.
- Integrales curvilíneas o integrales de superficies. Longitud de curvas.
Integrales curvilíneas. Independencia de las integrales curvilíneas en las
curvas. El teorema de Green. Cambio de variables en integrales dobles.
Superficies y área. Integrales de superficie. El teorema de la divergencia.
Cambio de variables en integrales triples. El teorema de Stokes.
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