ANÁLISIS II (C)

1. Integral definida: revisión de propiedades, relación con la primitiva y regla de Barrow. Integrales impropias. Criterios de convergencia.
2. Series numéricas. Convergencia. Propiedades de las series convergentes. Serie geométrica. Criterios de convergencia: comparación, de Cauchy, de D'Alembert y de la integral. Convergencia absoluta. Series alternadas: criterio de Leibniz. Series de potencias, radio de convergencia, funciones analíticas, derivación e integración de funciones analíticas, cálculo de los coeficientes. Series de Taylor.
3. El espacio euclídeo. Producto escalar de vectores. Propiedades. Distancia. Conjuntos abiertos, cerrados y compactos. Puntos de acumulación. Sucesiones en Rⁿ. Funciones reales de varias variables. Límite. Propiedades. Funciones continuas. Derivadas parciales y direccionales. Funciones diferenciables. Propiedades. Gradiente. Plano tangente.
4. Funciones a valores vectoriales. Diferenciación. Regla de la cadena. Funciones definidas implícitamente. Cálculo de sus derivadas. Plano tangente a una superficie en R³. Funciones de Rⁿ a Rⁿ. Jacobiano. Teorema de la función inversa.
5. Derivadas parciales de órdenes superiores. Funciones de clase Cⁿ. Polinomio de Taylor para funciones reales de varias variables. Fórmula del resto. Aplicación al cálculo aproximado. Puntos críticos. Hessiano. Condiciones necesarias y suficientes para extremos. Extremos sujetos a restricciones. Multiplicadores de Lagrange.
6. Integral doble sobre un rectángulo. Funciones integrables. Teorema de Fubini. Integración sobre regiones elementales. Aplicación al cálculo de áreas y volúmenes. Integrales triples sobre regiones elementales del espacio. Cambio de variables. Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.

BIBLIOGRAFÍA

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