Análisis Funcional - Programa Analítico
1.
Espacios normados, propiedades elementales y ejemplos. Espacios de
Banach. Funcionales lineales. Teorema de Hahn-Banach. Operadores lineales.
Teoremas de la aplicación abierta y del grafo cerrado. Principio de acotación
uniforme. Teorema de Stone-Wierstrass. Teorema de representación de Riesz (dual
de C(X)). Espacios Lp.
2.
Series de Fourier. Convergencia uniforme y puntual. Series de promedios,
convergencia p.p. y en L1. Núcleo de Féjer. Condiciones suficientes
para la convergencia puntual, pp y uniforme. Ejemplo de serie divergente de una
función continua. Núcleo de Poisson.
3.
Espacios de Hilbert, propiedades y ejemplos. Propiedades elementales.
Lema de Riesz. Espacio H2 Operador shift, subespacios invariantes. Sistemas
y bases ortonormales. Operadores en espacios de Hilbert, ejemplos. Operadores
normales y autoadjuntos, positivos. Proyectores.
4.
Topologías débiles. Topología débil y débil* en un espacio de Banach. Teorema
de Alaoglu. Reflexividad. Lema de Goldstine. Forma geométrica del Teorema de
Hahn-Banach.
5.
Operadores compactos. Espectro de un operador. Propiedades espectrales
de los operadores compactos. Teoría de Riesz-Fredholm. Alternativa de Fredholm.
Aplicaciones. Problema de Dirichlet para un dominio acotado de R3
con borde suave.
6.
Operadores autoadjuntos. Propiedades espectrales. Descomposición
espectral de un operador compacto y autoadjunto. Aplicaciones sistema de
Sturn-Liouville regulares.
7.
Cálculo funcional. Aplicaciones. Medidas espectrales. Resoluciones de la
identidad. Teorema espectral de un operador autoadjunto. Transformada de
Bourier-Planchesd.
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