MEDIDA DE LEBESGUE EN Rⁿ. Medida de intervalos y de conjuntos σ-elementales. Medida exterior. Conjuntos medibles. Medida de Lebesgue. Sucesiones monótonas de conjuntos medibles. Conjuntos de medida nula. Conjuntos de clase G_δ y conjuntos de clase F_σ. Estructura de los conjuntos medibles. Algebras y σ-álgebras. Conjuntos borelianos. Invariancia bajo translaciones. Conjuntos no medibles.

     FUNCIONES MEDIBLES. Operaciones algebraicas y sucesiones de funciones medibles. Funciones simples. Funciones borelianas. Propiedades verdaderas en casi todo punto. Teorema de Egorov. Teorema de Lusin. Convergencia en medida.

     INTEGRAL DE LEBESGUE. Integral de funciones no negativas. Integral de funciones simples. Teoremas de Beppo-Levi y de Fatou. Integral de funciones a valores de signo distinto. Linealidad. Teorema de convergencia uniforme. Teorema de convergencia mayorada. Desigualdad de Chebyshev. Integral de funciones a valores complejos. Invariancia bajo translaciones. La integral como función de conjunto. Absoluta continuidad de la integral. Comparación con la integral de Riemann.

     TEOREMA DE FUBINI. Principio de Cavalieri. Teoremas de Tonelli y de Fubini. Convolución. Función de distribución.

     CAMBIO DE VARIABLES. Imagen de un conjunto medible por una transformación lineal. Aplicaciones diferenciables. Fórmula del cambio de variables.

     ESPACIOS L^p. Desigualdades de Hölder y de Minkowski. Completitud. Clases de funciones densas en L^p. Separabilidad. Módulo de continuidad. Convolución. Teorema de Young.

     DIFERENCIACION DE LA INTEGRAL. Lema simple de Vitali. Función maximal de Hardy-Littlewood. Teorema maximal. Teorema de diferenciación de Lebesgue. Teorema de cubrimiento de Vitali. Derivabilidad de las funciones monótonas. Funciones de variación acotada. Funciones absolutamente continuas y singulares.

     MEDIDAS E INTEGRACION EN ESPACIOS ABSTRACTOS. Espacios medibles. Medidas. Funciones medibles. Integración en un espacio de medida.

     MEDIDAS CON SIGNO. Medidas signadas. Teorema de descomposición de Hahn. Descomposición de Jordan-Hahn de una medida. Medidas complejas. Variación total. Medidas absolutamente continuas y medidas singulares. Teorema de Lebesgue-Radón-Nikodym. Funcionales lineales acotadas sobre L^p.
 

    J. Cerdà, Análisis Real. Universitat de Barcelona, 1996.

     N. Fava y F. Zó, Medida e Integral de Lebesgue. Red Olímpica, 1996.

     G. B. Folland, Real Analysis - Modern Techniques And Their Applications. John Wiley & Sons, 1984.

     P. R. Halmos, Measure Theory. Van Nostrand, Princeton, 1950.

     E. Hewitt and K. Stromberg, Real and Abstract Analysis. Springer-Verlag, Berlín, 1965.

     S. Igari, Real Analysis - With an Introduction to Wavelet Theory. American Mathematical Society, Volume 177, 1998.

     A. N. Kolmogorov and S. V. Fomin, Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional. Ed. MIR, Moscú, 1972.

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