Análisis Real / Medida y Probabilidad
Programa Analítico
- MEDIDA DE LEBESGUE EN Rn. Medida de intervalos y de conjuntos σ-elementales. Medida exterior. Conjuntos medibles. Medida de Lebesgue. Sucesiones monótonas de conjuntos medibles. Conjuntos de medida nula. Conjuntos de clase Gδ y conjuntos de clase Fσ. Estructura de los conjuntos medibles. Algebras y σ-álgebras. Conjuntos borelianos. Invariancia bajo translaciones. Conjuntos no medibles.
- FUNCIONES MEDIBLES. Operaciones algebraicas y sucesiones de funciones medibles. Funciones simples. Funciones borelianas. Propiedades verdaderas en casi todo punto. Teorema de Egorov. Teorema de Lusin. Convergencia en medida.
- INTEGRAL DE LEBESGUE. Integral de funciones no negativas. Integral de funciones simples. Teoremas de Beppo-Levi y de Fatou. Integral de funciones a valores de signo distinto. Linealidad. Teorema de convergencia uniforme. Teorema de convergencia mayorada. Desigualdad de Chebyshev. Integral de funciones a valores complejos. Invariancia bajo translaciones. La integral como función de conjunto. Absoluta continuidad de la integral. Comparación con la integral de Riemann.
- TEOREMA DE FUBINI. Principio de Cavalieri. Teoremas de Tonelli y de Fubini. Convolución. Función de distribución.
- CAMBIO DE VARIABLES. Imagen de un conjunto medible por una transformación lineal. Aplicaciones diferenciables. Fórmula del cambio de variables.
- ESPACIOS Lp. Desigualdades de Hölder y de Minkowski. Completitud. Clases de funciones densas en Lp. Separabilidad. Módulo de continuidad. Convolución. Teorema de Young.
- DIFERENCIACION DE LA INTEGRAL. Lema simple de Vitali. Función maximal de Hardy-Littlewood. Teorema maximal. Teorema de diferenciación de Lebesgue. Teorema de cubrimiento de Vitali. Derivabilidad de las funciones monótonas. Funciones de variación acotada. Funciones absolutamente continuas y singulares.
- MEDIDAS E INTEGRACION EN ESPACIOS ABSTRACTOS. Espacios medibles. Medidas. Funciones medibles. Integración en un espacio de medida.
- MEDIDAS CON SIGNO. Medidas signadas. Teorema de descomposición de Hahn. Descomposición de Jordan-Hahn de una medida. Medidas complejas. Variación total. Medidas absolutamente continuas y medidas singulares. Teorema de Lebesgue-Radón-Nikodym. Funcionales lineales acotadas sobre Lp.
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