1.  Números reales

Construcción de un cuerpo ordenado completo. Principio de encaje de intervalos cerrados. Sucesiones de números reales. Sucesiones monótonas, sucesiones acotadas, sucesiones de Cauchy. Recta extendida. Límites superior e inferior. Series con términos positivos y desarrollos b-arios: casos de unicidad y no unicidad del desarrollo.

2.  Conjuntos infinitos

Equivalencia de conjuntos. Conjuntos finitos y conjuntos numerables. Conjuntos no numerables: potencia del continuo.Cardinales transfinitos. Teoremas de Schroeder-Bernstein y de Cantor.

3.   Espacios métricos

Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados. Entornos. Interior y adherencia. Puntos de acumulación. Convergencia y continuidad. Conjuntos densos y espacios separables. Diámetro y distancia. Subespacios. Conjuntos acotados y conjuntos totalmente acotados. Completitud. Compacidad. Conexión. Teorema de Baire. Homeomorfismos. Métricas equivalentes. Isometrías. Espacios convexos.

4.   Rudimentos de la teoría de espacios de Banach

Espacios normados y espacios de Banach. Aplicaciones lineales continuas. Homeomorfismos y normas equivalentes. Espacios de dimensión finita. Espacio CB(E) de las funciones numéricas continuas y acotadas sobre un espacio métrico E. Teorema de Cantor-Hausdorff.

5.   Sucesiones y series en el campo complejo

Breve repaso de la noción de número complejo: módulo y distancia. Convergencia de sucesiones y series de números complejos. Convergencia absoluta. Criterios de convergencia. Sucesiones y series de funciones. Convergencia uniforme y continuidad. Convergencia uniforme e integración. Convergencia uniforme y derivación.

6.   Diferenciación en espacios euclidianos

Aplicaciones diferenciables. Propiedades de la diferencial. Derivadas parciales. Matriz jacobiana. Regla de la cadena. Teorema de la función inversa. Funciones implícitas.

7.   Concepto de ecuación diferencial

Teorema del punto fijo y teorema de Picard.

 

BIBLIOGRAFIA

 

[1]

Apostol, T., Análisis Matemático. Ed. Reverte, 1996.

[2]

Dieudonne, J., Fundamentos de Análisis Moderno. Ed. Reverte, 1979.

[3]

Kaplansky, I., Set Theory a Metric Spaces. Allyn and Bacon Inc., 1972.

[4]

Kolmogorov - Fomin, Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. Editorial Mir, Moscú, 1972.

[5]

Rudin, W., Principios de Análisis Matemático. Mc Graw Hill, 1980.

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