Cálculo Avanzado Primer Cuatrimestre de 2003

Práctica 1

Ejercicio 1. Sea A ⊆ ℝ un conjunto no vacío acotado superiormente y sea s ∈ ℝ. Probar que

s = sup A ⟺ i) s es cota superior de A ii) ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : s − ε < a ≤ s

Ejercicio 2. Para cada x ∈ ℝ se define A_{x} = {m ∈ ℤ : m ≤ x}.

i) Verificar que A_{x} ≠ ∅ y es acotado superiormente. Concluir que existe el máximo de A_{x}. Este número se llama la parte entera de x y se notará [x].

ii) Demostrar que:

(a) 0 ≤ x − [x] < 1 ∀ x ∈ ℝ.

(b) [x] = x ⟺ x ∈ ℤ

(c) [x + y] ≤ [x] + [y] + 1

(d) x < y ⇒ [x] ≤ [y]

Ejercicio 3.

i) Sean x, y ∈ ℝ tales que y − x > 1. Mostrar que existe un entero k tal que x < k < y. ii) Sean x, y ∈ ℝ tales que x < y. Mostrar que existe r ∈ Q tal que x < r < y. iii) Sean r, s ∈ Q tales que r > s. Mostrar que existe un número irracional entre r y s. iv) Sean x, y ∈ ℝ tales que x < y. Mostrar que existe un número irracional entre x e y.

Ejercicio 4.

i) Probar que para cada x ∈ ℝ, existe una sucesión (q_{n})_{n∈ℕ} ⊂ Q estrictamente decreciente tal que q_{n} ≥ x para todo n ∈ ℕ y lim_{n→∞} q_{n} = x.

ii) Enunciar y probar un enunciado análogo donde (q_{n})_{n∈ℕ} sea estrictamente creciente.

Ejercicio 5. Sean x = (x_{1}, …, x_{m}) ∈ ℝ^{m} y ε > 0. Mostrar que existe q = (q_{1}, …, q_{m}) ∈ Q^{m}

tal que ∥x − q∥ = (∑_{i=1}^{m}(x_{i} − q_{i})^{2})^{1/2} < ε.

Ejercicio 6. Sea A = \{\frac{m}{2^{n}} / m ∈ ℤ , n ∈ ℕ\}. Probar que A es denso en ℝ. Analizar la misma situación para el conjunto B = \{\frac{m}{b^{n}} / m ∈ ℤ , n ∈ ℕ\}, donde b ∈ ℝ_{>0}.

Ejercicio 7. Sean (a_{n})_{n∈ℕ}, (b_{n})_{n∈ℕ} y (c_{n})_{n∈ℕ} sucesiones de números reales tales que i) ∃ n_{0} ∈ ℕ : ∀ n ≥ n_{0}, a_{n} ≤ b_{n} ≤ c_{n}

ii) lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} c_{n} = ℓ

Probar que lim_{n→∞} b_{n} = ℓ.

Ejercicio 8.

i) Sea (a_{n})_{n∈ℕ} una sucesión monótona. Probar que:

(a) Si existe una subsucesión (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} convergente a ℓ ∈ ℝ, entonces (a_{n})_{n∈ℕ} converge a ℓ. ¿Qué pasa si la subsucesión tiende a ∞?

(b) (a_{n})_{n∈ℕ} converge ⟺ (a_{n})_{n∈ℕ} es acotada. ii) Demostrar que cualquier subsucesión de una sucesión convergente es también convergente. iii) Encontrar una sucesión no convergente (a_{n})_{n∈ℕ} que verifique lim_{n→∞} |a_{n} − a_{n+1}| = 0. iv) Analizar la situación del inciso anterior pero con la condición: lim_{n→∞} |a_{n} − a_{n+p}| = 0 para

todo p ∈ ℕ y estudiar si la respuesta contradice algún resultado conocido.

Ejercicio 9. Mostrar que en un cuerpo totalmente ordenado arquimediano son equivalentes las afirmaciones siguientes:

i) Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. ii) Toda sucesión de Cauchy es convergente. iii) Si (I_{n})_{n≥1} es un encaje de intervalos cerrados cuyas longitudes tienden a cero, entonces

existe un único x ∈ ⋂_{n=1}^{∞}I_{n}.

iv) Todo conjunto acotado superiormente y no vacío tiene supremo.

v) Toda sucesión monótona y acotada superiormente tiene supremo.

Ejercicio 10. Sea (a_{n})_{n∈ℕ} una sucesión acotada de números reales. Para cada n ∈ ℕ se considera A_{n} = {a_{k} : k ≥ n}. Sean λ_{n} = sup A_{n} y γ_{n} = inf A_{n}.

i) Probar que (λ_{n})_{n∈ℕ} es decreciente y (γ_{n})_{n∈ℕ} es creciente. Concluir que (λ_{n})_{n∈ℕ} y (γ_{n})_{n∈ℕ} son sucesiones convergentes. Al límite de la sucesión (λ_{n})_{n∈ℕ} (resp. (γ_{n})_{n∈ℕ}) lo llamaremos límite superior (resp. límite inferior) de (a_{n})_{n∈ℕ} y lo notaremos lim sup a_{n} (resp. lim inf a_{n}).

ii) Sean α = lim inf a_{n} y β = lim sup a_{n}, y sea ε > 0. Probar que a la derecha de β + ε y a la izquierda de α − ε existen finitos términos de (a_{n})_{n∈ℕ}. ¿Vale la recíproca?

Ejercicio 11. Hallar los límites superior e inferior de las siguientes sucesiones:

i) 1, 3, −1, 1, 3, −1, 1, 3, −1, …

ii) (−1)^{n}(2 + \frac{3}{n})
iii) (1 − \frac{1}{n}) sen (n\frac{π}{2} )

iv) (s_{n})_{n∈ℕ} definida por: s_{1} = 0 , s_{2n} = \frac{s_{2n−1}}{2} , s_{2n+1} = \frac{1}{2} + s_{2n}

v) \frac{n}{3} − [\frac{n}{3}]

Ejercicio 12.

i) Encontrar una sucesión (x_{n}) ⊂ ℝ tal que lim inf x_{n} = −3, lim sup x_{n} = 5 y el conjunto {x_{n} / n ∈ ℕ} sea infinito.

ii) ¿Es cierto que (a) si lim sup x_{n} = 2, entonces existe n_{0} ∈ ℕ tal que x_{n} > 1, 99 para todo n ≥ n_{0}?

(b) si lim sup x_{n} = b, entonces existe n_{0} ∈ ℕ tal que x_{n} ≤ b para todo n ≥ n_{0}?

Ejercicio 13. Sea (a_{n})_{n∈ℕ} una sucesión de números reales acotada.

i) Probar que α = lim sup a_{n} si y sólo si para cada ε > 0 se verifica:

(a) ∃ n_{0} ∈ ℕ tal que ∀ n ≥ n_{0}, a_{n} < α + ε

(b) ∀ n ∈ ℕ ∃ m ≥ n tal que a_{m} > α − ε ii) Demostrar que α = lim sup a_{n} si y sólo si se verifican las dos condiciones siguientes:

(a) Existe una subsucesión (a_{n_{j}})_{j∈ℕ} tal que lim_{j→∞} a_{n_{j}} = α.

(b) Si (a_{n_{j}})_{j∈ℕ} es una subsucesión convergente, entonces lim_{j→∞} a_{n_{j}} ≤ α

Ejercicio 14. Sea (a_{n})_{n∈ℕ} ⊂ ℝ. Probar que lim_{n→∞} a_{n} = ℓ si y sólo si lim sup a_{n} = lim inf a_{n} = ℓ.

Ejercicio 15. Sean (a_{n})_{n∈ℕ} , (b_{n})_{n∈ℕ} sucesiones reales acotadas. Probar que:

i) lim sup(a_{n} + b_{n}) ≤ lim sup a_{n} + lim sup b_{n}

ii) lim sup(a_{n}.b_{n}) ≤ lim sup a_{n}. lim sup b_{n}, si a_{n}, b_{n} ≥ 0 iii) si c > 0 entonces, lim sup(c.a_{n}) = c. lim sup a_{n} Enunciar y probar resultados análogos para lim inf.

Ejercicio 16. Sea (a_{n})_{n∈ℕ} ⊂ ℝ_{>0}.

i) Probar que: lim inf \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ≤ lim inf ^{n} \sqrt{a_{n}} ≤ lim sup ^{n} \sqrt{a_{n}} ≤ lim sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}

ii) Deducir que si existe lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = A ∈ ℝ_{∞} entonces, lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a_{n}} = A.

iii) Calcular lim_{n→∞} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}

Ejercicio 17. Sean x, y ∈ ℝ y (x_{i})_{i≥0}, (y_{j})_{j≥0} desarrollos de ambos en base b > 1. Se supone que el desarrollo de y es infinito, i.e., para todo n ∈ ℕ existe i > n con y_{i} > 0.

i) Probar que si x_{i} = y_{i} para todo i ≤ n − 1 y x_{n} < y_{n}, entonces x < y.

ii) Deducir que el orden entre x e y es el mismo que el de los primeros términos en que difieren

sus desarrollos. iii) Manteniendo las hipótesis de i), sea z ∈ [x, y]. Probar que entonces z tiene un desarrollo

en base b con z_{i} = x_{i} = y_{i} para todo i ≤ n − 1.