Cálculo Avanzado Primer Cuatrimestre de 2003

Práctica 2

Ejercicio 1. Demostrar las siguientes igualdades de conjuntos:

i) B − ⋃_{i∈I} A_{i} = ⋂_{i∈I}(B − A_{i})

ii) B − ⋂_{i∈I} A_{i} = ⋃_{i∈I}(B − A_{i})

iii) ⋃_{i∈I}(A_{i} ∩ B) = B ∩ ( ⋃_{i∈I} A_{i})

Ejercicio 2. Sea (A_{n})_{n∈IN} una familia de conjuntos y sea A = ⋃_{n∈IN} A_{n}. Hallar una familia de conjuntos (B_{n})_{n∈IN} que verifique simultáneamente:

– B_{n} ⊆ A_{n} para cada n ∈ IN

– B_{k} ∩ B_{j} = ∅ si k ≠ j

– A = ⋃_{n∈IN} B_{n}

Ejercicio 3. Sea L un conjunto parcialmente ordenado en el cual todo subconjunto no vacío tiene máximo y mínimo. Probar que L es una cadena finita.

Ejercicio 4. Sea f : X ⟶ Y una función y sean A y B subconjuntos de X.

i) Demostrar que:

(a) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)

(b) f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B) ii) Generalizar al caso de uniones e intersecciones infinitas. iii) Exhibir un ejemplo donde la inclusión en i) (b) sea estricta.

Ejercicio 5. Sean f : X ⟶ Y una función, A ⊆ X y B, B_{1}, B_{2} ⊆ Y. Demostrar que: i) A ⊆ f^{−1}(f(A)) ii) f(f^{−1}(B)) ⊆ B iii) f^{−1}(Y − B) = X − f^{−1}(B) iv) f^{−1}(B_{1} ∪ B_{2}) = f^{−1}(B_{1}) ∪ f^{−1}(B_{2})

v) f^{−1}(B_{1} ∩ B_{2}) = f^{−1}(B_{1}) ∩ f^{−1}(B_{2})

Generalizar iv) y v) al caso de uniones e intersecciones infinitas.

Ejercicio 6. Sea f : X ⟶ Y una función. Probar que f(f^{−1}(B)) = B para cada B ⊆ Y si y sólo si f es suryectiva.

Ejercicio 7. Sea f : X ⟶ Y una función. Probar que las siguientes propiedades son equivalentes:

i) f es inyectiva

ii) f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) para todo A, B ⊆ X iii) f^{−1}(f(A)) = A para todo A ⊆ X iv) f(A) ∩ f(B) = ∅ para todo par de subconjuntos A, B tales que A ∩ B = ∅

v) f(A − B) = f(A) − f(B) para todo B ⊆ A ⊆ X

Ejercicio 8. Para cada subconjunto S de un conjunto A dado se define la función característica de S, X_{S} : A ⟶ {0, 1}, por

X_{S}(a) = \{ \begin{matrix}1 & si a ∈ S \\ 0 & si a ∉ S \end{matrix}

Probar que:

i) X_{S∩T} = X_{S} · X_{T} para todo par de subconjuntos S, T ⊆ A

ii) X_{A−S} = 1 − X_{S} para todo S ⊆ A iii) X_{S} + X_{T} = X_{S∪T} + X_{S∩T} para todo S, T ⊆ A

Ejercicio 9. Sea A un cadena y sea B un conjunto parcialmente ordenado. Sea f : A → B una función inyectiva para la cual si a, b ∈ A y a ≤ b, entonces f(a) ≤ f(b). Probar que f(a) ≤ f(b) implica a ≤ b.

Ejercicio 10. Sea ∼ una relación de equivalencia sobre un conjunto A. Para cada a ∈ A se define el conjunto S_{a} = {b ∈ A / a ∼ b}. Probar que:

i) Para todo par de elementos a_{1}, a_{2} ∈ A vale: S_{a_{1}} = S_{a_{2}} o S_{a_{1}} ∩ S_{a_{2}} = ∅

ii) A = ⋃_{a∈A} S_{a}

Ejercicio 11. Sea A un conjunto. Probar que son equivalentes:

i) A es infinito

ii) Para todo x ∈ A, existe una función f_{x} : A → A − {x} biyectiva iii) Para todo {x_{1}, …, x_{n}} ⊂ A, existe una función f_{{x_{1},...,x_{n}}} : A → A−{x_{1}, …, x_{n}} biyectiva.

Ejercicio 12. Sea A un conjunto numerable. Supongamos que existe una función sobreyectiva de A en un conjunto B. Probar que B es contable.

Ejercicio 13. Probar que los siguientes conjuntos son numerables (es decir, tienen cardinal ℵ_{0}):

ZZ_{≤−1} ; ZZ_{≥−3} ; 3.IN ; ZZ ; IN^{2} ; ZZ × IN ; Q ; IN^{m} (m ∈ IN)

Ejercicio 14. Probar que una cadena infinita contiene o bien una cadena isomorfa (con el orden) a IN o bien una cadena isomorfa a ZZ_{≤−1}.

Ejercicio 15.

i) Sean A y B conjuntos contables. Probar que A ∪ B es contable.

ii) Sea (A_{n})_{n∈IN} una familia de conjuntos contables. Probar que ⋃_{n∈IN} A_{n} es contable.

iii) Sea A un conjunto finito y S = ⋃_{m∈IN} A^{m}. Probar que ♯(S) = ℵ_{0}.

Deducir que, cualquiera sea el alfabeto utilizado, hay más números reales que palabras para nombrarlos. Cuántos subconjuntos de IN^{2} pueden ser definidos en un lenguaje fijo? Cuantos hay en total?

Ejercicio 16. Sean A y B conjuntos, A infinito y B numerable. Probar que:

i) Existe una biyección entre A ∪ B y A

ii) Si A no es numerable y B ⊆ A, entonces existe una biyección entre A − B y A.

¿Es numerable el conjunto IR − Q?

Ejercicio 17. Probar que el conjunto de todos los polinomios con coeficientes racionales es numerable.

Ejercicio 18. Se dice que un número complejo z es algebraico si existen enteros a_{0}, …, a_{n} no todos nulos, tales que

a_{0} + a_{1}z + … + a_{n−1}z^{n−1} + a_{n}z^{n} = 0

i) Demostrar que el conjunto de todos los números algebraicos es numerable.

ii) Deducir que existen números reales que no son algebraicos.

Nota: Estos números se llaman trascendentes.

Ejercicio 19. Sea X ⊆ IR_{>0} un conjunto de números reales positivos. Supongamos que existe una constante positiva C tal que para cualquier subconjunto finito {x_{1}, …, x_{n}} ⊂ X vale

∑_{i=1}^{n} x_{i} ≤ C. Probar que X es contable.

Ejercicio 20. Sea f : IR ⟶ IR una función monótona. Probar que:

♯({x ∈ IR / f no es continua en x}) ≤ ℵ_{0}

Ejercicio 21. Probar que si A es un conjunto numerable, el conjunto de las partes finitas de A (es decir, el subconjunto de P(A) formado por los subconjuntos finitos de A) es numerable.

Ejercicio 22. Hallar el cardinal de los siguientes conjuntos de sucesiones:

i) {(a_{n}) / a_{n} ∈ IN para todo n ∈ IN}

ii) {(a_{n}) ⊂ IN / a_{n} ≤ a_{n+1} para todo n ∈ IN} iii) {(a_{n}) ⊂ IN / a_{n} ≥ a_{n+1} para todo n ∈ IN}

iv) {(q_{n}) ⊂ Q / lim_{n→∞} q_{n} = 0}

v) {(q_{n}) ⊂ Q / (q_{n}) es periódica}

vi) {(a_{n}) ⊂ IN / 1 ≤ a_{n} ≤ m para todo n ∈ IN} (m ∈ IN)

Ejercicio 23. Hallar el cardinal de los siguientes conjuntos:

i) {I / I es un intervalo de extremos racionales} ii) {[a, b] / a, b ∈ IR} iii) I , sabiendo que {A_{i}}_{i∈I} ⊂ IR es una familia de intervalos disjuntos iv) {(x, y) ∈ IR^{2} / 3x + 2y ≥ 7}

v) IR_{>0}

Ejercicio 24. Probar que la unión numerable de conjuntos de cardinal c tiene cardinal c.

Ejercicio 25. Sean a, b, c cardinales. Probar que:

i) a.(b + c) = a.b + a.c

ii) a^{b+c} = a^{b}. a^{c} iii) (a^{b})^{c} = a^{bc} iv) (ab)^{c} = a^{c}. b^{c}

v) Si b ≤ c, entonces a^{b} ≤ a^{c} y b^{a} ≤ c^{a}

Ejercicio 26. Probar que n^{ℵ_{0}} = ℵ_{0}^{ℵ_{0}} = c^{ℵ_{0}} = c cualquiera sea n ∈ IN_{≥2}.

Ejercicio 27. Mostrar que IR es unión disjunta de c conjuntos de cardinal c.

Ejercicio 28. Se consideran los siguientes conjuntos de funciones:

F(IR) = {f / f : IR ⟶ IR}  F(Q) = {f / f : Q ⟶ IR}
C(IR) = {f ∈ F(IR) / f es continua}  C(Q) = {f ∈ F(Q) / f es continua}

i) Probar que ♯(F(IR)) > c.

ii) Calcular ♯(F(Q)).

iii) Calcular ♯(C(Q)).

iv) Probar que la función ϕ : C(IR) ⟶ C(Q) dada por ϕ(f) = f|Q es inyectiva. Qué significa esto?

v) Calcular ♯(C(IR)).

Ejercicio 29. Probar que el conjunto de partes numerables de IR (es decir, el subconjunto de P(IR) formado por todos los subconjuntos numerables de IR) tiene cardinal c.

Lema de Zorn y axioma de elección

Ejercicio 30. Sean A, B ≠ ∅. Entonces, o bien existef : A → B inyectiva, o bien existe g : B → A inyectiva.(Es decir ♯A ≤ ♯B o ♯B ≤ ♯A).

Ejercicio 31. Sea V un IR-espacio vectorial y S ⊆ V un subespacio.Sea T : S → IR una transformación lineal. Entonces T se puede extendera todo el espacio, i.e. ∃ T̃ : V → IR transformación lineal, tal que T̃|_{S} ≡ T.

Ejercicio 32. Todo conjunto linealmente independiente se puede extender a una base.

Ejercicio 33. De todo sistema de generadores se puede extraer una base.

Ejercicio 34. Probar que existe una aplicación suryectiva f : X → Y si y sólo si existe g : Y → X inyectiva. (Esto dice que ♯X ≥ ♯Y si y sólo si ♯Y ≤ ♯X).

Ejercicio 35. Si X es un conjunto infinito, entonces existe una aplicación inyectiva f : IN → X. Sugerencia: definir f por medio de las fórmulas recursivas

\begin{aligned}f(1) & = & e(X) \\ f(n + 1) & = & e(X − \{f(1), ..., f(n)\}) \end{aligned}