Cálculo Avanzado Primer Cuatrimestre de 2003

Práctica 3

IR^{n} como Espacio Métrico

Ejercicio 1. Probar que toda colección de conjuntos abiertos disjuntosde IR^{n} es necesariamente numerable. Dar un ejemplo de colección de conjuntoscerrados disjuntos que no sea numerable. Ejercicio 2. Sea G la colección de todas las bolas B(q, r) de IR^{n}con centro q ∈ Q^{n} y radio racional r. Sea S ⊂ IR^{n} abierto y x ∈ S. Probar que ∃ B_{k} ∈ G tal que x ∈ B_{k} ⊆ S. Ejercicio 3. Teorema de Lindelöf. Sea A ⊆ IR^{n} y C = (W_{i})_{i∈I} un cubrimiento abierto de A. Probar que existe un subcubrimiento numerable de C que cubre a A. Ejercicio 4. Sea S ⊆ IR^{n} . Un punto x ∈ IR^{n} es un punto de condensación de S si toda n-bola B(x) tiene la propiedad de que B(x) ∩ S es no numerable. Probar que si S es no numerable entonces existe un punto x ∈ S de condensación de S. Ejercicio 5. Sea S ⊂ IR^{n}, probar que la colección de puntos aislados de S es numerable. Ejercicio 6. Se definen las funciones d_{i} : IR × IR ⟶ IR (1 ≤ i ≤ 5) por:

d_{1}(x, y) = (x − y)^{2}  ,  d_{2}(x, y) = \sqrt{|x − y|}  ,  d_{3}(x, y) = |x^{2} − y^{2}|
d_{4}(x, y) = |x − 2y|  ,  d_{5}(x, y) = \frac{|x − y|}{1 + |x − y|}

Determinar cuáles de estas funciones son métricas en IR. Ejercicio 7.

i) Probar que las siguientes funciones son métricas en IR^{n}:

(a) d_{1}(x, y) = ∑_{i=1}^{n}|x_{i} − y_{i}|

(b) d_{2}(x, y) = (∑_{i=1}^{n}(x_{i} − y_{i})^{2})^{1/2}

(c) d_{∞}(x, y) = sup_{1≤i≤n} |x_{i} − y_{i}|.

ii) Para n = 2, dibujar la bola abierta B(0, r) de centro 0 ∈ IR^{2} y radio r.

Espacios Mérticos, Topologías

Ejercicio 8. Sea N : ZZ ⟶ IR la función definida por

N(a) = \{ \begin{matrix}2^{−n} & si a ≠ 0, p^{n} | a y p^{n+1} |̸ a \\ 0 & si a = 0 \end{matrix}

donde p es un primo fijo, y sea d : ZZ × ZZ ⟶ IR dada por d(a, b) = N(a − b). Probar que (ZZ, d) es un espacio métrico.

Ejercicio 9. Sea ℓ^{∞} = {(a_{n})_{n∈IN} ⊂ IR / (a_{n})_{n∈IN} es acotada}. Se considera d : ℓ^{∞} × ℓ^{∞} → IR definida por d((a_{n})_{n∈IN}, (b_{n})_{n∈IN}) = n ∈ IN sup_{n∈IN} |a_{n} − b_{n}|. Probar que (ℓ^{∞}, d) es un espacio

métrico.

Ejercicio 10. Dados a, b ∈ IR, a < b, se define C[a, b] = {f : [a, b] → IR / f es continua }. Probar que son espacios métricos:

i) (C[a, b], d_{1}), con d_{1}(f, g) = ∫_{a}^{b} |f(x) − g(x)| dx

ii) (C[a, b], d_{∞}), con d_{∞} = sup_{x∈[a,b]} |f(x) − g(x)|.

Ejercicio 11. Sean (X_{1}, d_{1}) y (X_{2}, d_{2}) espacios métricos. Consideremos el conjunto X_{1}×X_{2} y la aplicación d : (X_{1}×X_{2})×(X_{1}×X_{2}) ⟶ IR dada por d((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = d_{1}(x_{1}, y_{1})+d_{2}(x_{2}, y_{2}).

i) Probar que d define una métrica en X_{1} × X_{2}.

ii) Construir otras métricas en X_{1} × X_{2}.

Ejercicio 12.

i) Sea (X, d) un espacio métrico. Se define d′(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)}. Probar que d′ es una

métrica en X topológicamenteequivalente a d. Observar que 0 ≤ d′(x, y) < 1 para todo x, y ∈ X.

iii) Sea (X_{n}, d_{n})_{n∈IN} una sucesión de espacios métricos tales que para cada n ∈ IN vale 0 ≤ d_{n}(x, y) ≤ 1 para todo par de elementos x, y ∈ X_{n}. Para cada x = (x_{n})_{n∈IN}, y = (y_{n})_{n∈IN} definimos:

d(x, y) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{d_{n}(x_{n}, y_{n})}{2^{n}}

Probar que d es una métrica en el espacio producto X = ∏_{n=1}^{∞}X_{n}.

iv) Sea (X, d) un espacio métrico. Llamamos X^{IN} al conjunto de las sucesiones de X. Mostrar que X^{IN} es un espacio métrico con una distanciaconveniente.

Ejercicio 13. Sea X un conjunto y δ : X × X ⟶ IR definida por

δ(x, y) = \{ \begin{matrix}1 & si x ≠ y \\ 0 & si x = y \end{matrix}

Verificar que δ es una métrica y hallar los abiertos de (X, δ). Nota: δ se llama métrica discreta y (X, δ) espacio métrico discreto.

Ejercicio 14. Sean d_{∞} y d_{2} las métricas en IR^{n} definidas en el Ejercicio 2. Mostrar que un conjunto es abierto para d_{∞} si y sólo si lo es para d_{2}.

Ejercicio 15. Sea (X, d) un espacio métrico y sean A, B ⊆ X

i) Probar las siguientes propiedades del interior de un conjunto: (a) A^{∘} = ⋃_{{G abierto \atop G⊆A}}G

(b) ∅^{∘} = ∅ y X^{∘} = X

(c) A ⊆ B ⟹ A^{∘} ⊆ B^{∘}

(d) (A ∩ B)^{∘} = A^{∘} ∩ B^{∘}. ¿Se puede generalizar a una intersección infinita?

(e) (A ∪ B)^{∘} ⊇ A^{∘} ∪ B^{∘}. ¿Vale la igualdad? ii) Probar las siguientes propiedades de la clausura de un conjunto:

(a) \overline{A} = ⋂_{{F cerrado \atop A⊆F}}F

(b) \overline{∅} = ∅  y  \overline{X} = X
(c) A ⊆ B  ⟹  \overline{A} ⊆ \overline{B}

(d) \overline{A ∪ B} = \overline{A} ∪ \overline{B}. ¿Se puede generalizar a una unión infinita?

(e) \overline{A ∩ B} ⊆ \overline{A} ∩ \overline{B}

(f) x ∈ \overline{A} ⟺ Existe una sucesión (x_{n})_{n∈IN} ⊆ A tal que x_{n} ⟶ x iii) Probar las siguientes propiedades que relacionan interior y clausura:

(a) (X − A)^{∘} = X − \overline{A}

(b) \overline{X − A} = X − A^{∘}

¿Son ciertas las igualdades: \overline{A} = \overline{A^{∘}} , A^{∘} = (\overline{A})^{∘} ? iv) Probar las siguientes propiedades de la frontera de un conjunto:

(a) ∂A = \overline{A} ∩ \overline{X − A}

(b) ∂A es cerrado

(c) ∂A = ∂(X − A)

Ejercicio 16. Sea (X, d) un espacio métrico y sean G ⊆ X abierto y F ⊆ X cerrado. Probar que F − G es cerrado y G − F es abierto.

Ejercicio 17. Sea (X, d) un espacio métrico. Dados a ∈ X y r ∈ IR_{>0}, llamamos bola cerrada de centro a y radio r al conjunto \overline{B}(a, r) = \{x ∈ X / d(x, a) ≤ r\}.

i) Probar que \overline{B}(a, r) es un conjunto cerrado y que \overline{B(a, r)} ⊆ \overline{B}(a, r).

ii) Dar un ejemplo de un espacio métrico y una bola abierta B(a, r) cuya clausura no sea \overline{B}(a, r).

Ejercicio 18. Sean (X, d_{1}) e (Y, d_{2}) espacios métricos. Se considera el espacio métrico (X×Y, d), donde d es la métrica definida en el Ejercicio 6. Probar que para A ⊆ X y B ⊆ Y valen:

i) (A × B)^{∘} = A^{∘} × B^{∘}

ii) \overline{A × B} = \overline{A} × \overline{B}

Ejercicio 19. Sea (X, d) un espacio métrico y sean A, B subconjuntos de X.

i) Probar las siguientes propiedades del derivado de un conjunto:

(a) A′ es cerrado

(b) A ⊆ B  ⟹  A′ ⊆ B′

(c) (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′

(d) \overline{A} = A ∪ A′

(e) (\overline{A})′ = A′

ii) Probar que x ∈ X es un punto de acumulación de A ⊆ X si y sólo si existe una sucesión (x_{n})_{n∈IN} ⊆ A tal que x_{n} ⟶ x y (x_{n})_{n∈IN} no es casi constante.

Ejercicio 20. Hallar interior, clausura, conjunto derivado y frontera de cada uno de los siguientes subconjuntos de IR. Determinar cuáles son abiertos o cerrados.

[0, 1]  ;  (0, 1)  ;  Q  ;  Q ∩ [0, 1]  ;  ZZ  ;  [0, 1) ∪ {2}

Ejercicio 21. Caracterizar los abiertos y los cerrados de ZZ considerado como espacio métrico con la métrica inducida por la usual de IR. Generalizar a un subespacio discreto de un espacio métrico X.

Ejercicio 22. Sea (X, d) un espacio métrico y sean (x_{n})_{n∈IN}, (y_{n})_{n∈IN} sucesiones en X.

i) Si lim_{n→∞} x_{n} = x y lim_{n→∞} y_{n} = y, probar que lim_{n→∞} d(x_{n}, y_{n}) = d(x, y).

ii) Si (x_{n})_{n∈IN} , (y_{n})_{n∈IN} son dos sucesiones de Cauchy en X, probar que la sucesión real (d(x_{n}, y_{n}))_{n∈IN} es convergente.

Ejercicio 23. Sea (X, d) un espacio métrico. Dados A ⊆ X no vacío y x ∈ X, se define la distancia de x a A como d_{A}(x) = inf{d(x, a) / a ∈ A}. Probar:

i) |d_{A}(x) − d_{A}(y)| ≤ d(x, y) para todo par de elementos x, y ∈ X ii) x ∈ A ⟹ d_{A}(x) = 0 iii) d_{A}(x) = 0 ⟺ x ∈ \overline{A} iv) B_{A}(r) = {x ∈ X / d_{A}(x) < r} es abierto para todo r > 0

v) \overline{B}_{A}(r) = \{x ∈ X / d_{A}(x) ≤ r\} es cerrado para todo r > 0

Ejercicio 24. Un subconjunto A de un espacio métrico X se dice un G_{δ} (resp. un F_{σ}) si es intersección de una sucesión de abiertos (resp. unión de una sucesión de cerrados) de X.

i) Probar que el complemento de un G_{δ} es un F_{σ}.

ii) Probar que el complemento de un F_{σ} es un G_{δ}.

ii) Probar que todo cerrado es un G_{δ}. Deducir que todo abierto es un F_{σ}.

iv) (a) Exhibir una sucesión de abiertos de IR cuya intersección sea [0, 1). Idem con [0, 1]. (b) Exhibir una sucesión de cerrados de IR cuya unión sea [0, 1). ¿Qué conclusión saca de estos ejemplos?

Ejercicio 25. Sea (X, d) un espacio métrico. Dados A, B ⊆ X no vacíos se define la distancia entre A y B por d(A, B) = inf{d(a, b) / a ∈ A , b ∈ B}. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

i) d(A, B) = d(\overline{A}, B)

ii) d(A, B) = 0 ⟺ A ∩ B ≠ ∅ iii) d(A, B) = 0 ⟺ \overline{A} ∩ \overline{B} ≠ ∅ iv) d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)