Cálculo Avanzado Primer Cuatrimestre de 2003

Práctica 4

Separabilidad

Ejercicio 1. Probar que ℝ^{n} (con la distancia euclídea) es separable.

Ejercicio 2. Sea ℝ^{(ℕ)} = {(a_{n})_{n∈ℕ} ⊆ ℝ / ∃ n_{0} : a_{n} = 0 ∀ n ≥ n_{0}}. Se considera la aplicación

d_{∞} : ℝ^{(ℕ)}×ℝ^{(ℕ)} ⟶ ℝ definida por d_{∞}((a_{n})_{n∈ℕ}, (b_{n})_{n∈ℕ}) = sup_{n∈ℕ}|a_{n} −b_{n}|. Probar que (ℝ^{(ℕ)}, d_{∞})

es un espacio métrico separable.

Ejercicio 3. Sea (X, d) un espacio métrico. Se dice que una familia A = (U_{j})_{j∈J} de abiertos de X es una base de abiertos de X si todo abierto de X se puede escribir como unión de miembros de A. Probar que A es una base de abiertos de X si y sólo si verifica la siguiente condición: “Para todo abierto G de X y para todo x ∈ G existe j ∈ J tal que x ∈ U_{j} ⊆ G”.

Ejercicio 4. Sea (X, d) un espacio métrico, que verifica que cada cubrimiento abierto de X tiene un subcubrimiento numerable. Probar que X es separable.

Ejercicio 5. Sea (X, d) un espacio métrico separable. Probar que toda familia de subconjuntos de X no vacíos, abiertos y disjuntos dos a dos es a lo sumo numerable. Deducir que el conjunto de puntos aislados de X es a lo sumo numerable.

Ejercicio 6. Sean (X, d) e (Y, d′) espacios métricos. Consideramos en X × Y la métrica d_{∞} definida por

d_{∞}((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) = max{d(x_{1}, x_{2}), d′(y_{1}, y_{2})}.

Probar que (X × Y, d_{∞}) es separable si y sólo si (X, d) e (Y, d′) son separables.

Ejercicio 7. Es el espacio (l^{∞}, d_{∞}) separable?.

Funciones Continuas

Ejercicio 8. Sean (X, d) e (Y, d′) espacios métricos y sea f : X ⟶ Y. Probar que:

i) f es continua en x_{0} ∈ X si y sólo si para toda sucesión (x_{n})_{n∈ℕ} ⊂ X tal que x_{n} ⟶ x_{0}, la sucesión (f(x_{n}))_{n∈ℕ} ⊂ Y converge a f(x_{0}).

ii) Son equivalentes:

(a) f es continua

(b) Para todo G ⊂ Y abierto, f^{−1}(G) es abierto en X

(c) Para todo F ⊂ Y cerrado, f^{−1}(F) es cerrado en X Ejercicio 9. Decidir cuáles de las siguientes funciones son continuas:

i) f : (ℝ^{2}, d) ⟶ (ℝ, | |), f(x, y) = x^{2} + y^{2}, donde d representa la métrica euclídea.

ii) id_{ℝ^{2}} : (ℝ^{2}, δ) ⟶ (ℝ^{2}, d_{∞}), la función identidad, donde δ representa la métrica discreta. iii) id_{ℝ^{2}} : (ℝ^{2}, d_{∞}) ⟶ (ℝ^{2}, δ), la función identidad, donde δ representa la métrica discreta. iv) i : (E, d) ⟶ (X, d), la inclusión, donde E ⊂ X

Ejercicio 10. Sean f, g, h : [0, 1] ⟶ ℝ definidas por

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & si x ∉ ℚ \\ 1 & si x ∈ ℚ \end{matrix}  g(x) = x.f(x)  h(x) = \{ \begin{matrix}0 & si x ∉ ℚ \\ \frac{1}{n} & si x = \frac{m}{n} , (m : n) = 1 \\ 1 & si x = 0 \end{matrix}

Probar que:

i) f es discontinua en todo punto

ii) g sólo es continua en x = 0 iii) h es continua en [0, 1] − ℚ

Ejercicio 11.

1. Consideramos la aplicación E : C[0, 1] → ℝ definida por:E(f) = f(0). Si ponemos en

C[0, 1] la métrica (usual)

d_{∞}(f, g) = sup_{x∈[0,1]} |f(x) − g(x)|

entonces la aplicación E resulta continua.

2. Si en cambio ponemos en C[0, 1] la metrica:

d_{1}(f, g) = ∫_{0}^{1} |f(x) − g(x)|dx

¿ Qué sucede en este caso ?

3. ¿ Qué ocurre con la aplicación I : C[0, 1] → ℝ dada porI(f) = ∫_{0}^{1} f(x)dx ?

Ejercicio 12. Probar que un espacio métrico X es discreto si y sólo si toda función de X en un espacio métrico arbitrario es continua.

Ejercicio 13. Dos métricas d_{1} y d_{2} en un espacio X, se dicen topológicamente equivalentes si todo abierto de (X, d_{1}) es abierto en (X, d_{2}) y recíprocamente.

1. Supongamos que existen constantes c_{1}, c_{2} ∈ ℝ_{>0} tales que d_{1}(x, y) ≤ c_{1} d_{2}(x, y) ≤ c_{2} d_{1}(x, y) para todo x, y ∈ X. Probar que d_{1} y d_{2} son topológicamente equivalentes.

2. Probar que d_{1} y d_{2} son topológicamente equivalentes si y sólo si la función identidad id_{X} : (X, d_{1}) ⟶ (X, d_{2}) es homeomorfismo.

3. Probar que en ℝ^{n} todas las métricas d_{p} con 1 ≤ p ≤ ∞ sontopolgicamente equivalentes.

4. Consideramos en ℝ la métrica

d′(x, y) = |\frac{x}{1 + |x|} − \frac{y}{1 + |y|}|

Probar que es topolgicamente equivalente a la métrica usual d(x, y) = |x − y|, pero que ℝ noes completo con la mtrica d′.

Ejercicio 14. Considerando en cada ℝ^{n} la métrica euclídea, probar que:

i) {(x, y) ∈ ℝ^{2} / x^{2} + y sen (e^{x} − 1) = −2} es cerrado.

ii) {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} / − 1 ≤ x^{3} − 3y^{4} + z − 2 ≤ 3} es cerrado. iii) {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) ∈ ℝ^{5} / 3 < x_{1} − x_{2}} es abierto. Mencione otras dos métricas para las cuales siguen valiendo estas afirmaciones.

Ejercicio 15. Consideramos las funciones E, I : C([0, 1]) → ℝ definidas por:

E(f) = f(0)

I(f) = ∫_{0}^{1} f(x) dx

1. Demostrar que si utilizamos en C([0, 1]), la distancia d_{∞} ambas resultan continuas.

2. Demostrar que si, en cambio, utilizamos en C([0, 1]) la distancia d_{1}, I esuna funcin continua pero E no lo es.

3. Analizar si es posible que una función F : C([0, 1]) → ℝ sea continua parala distancia d_{1} pero no para d_{∞} ?

Ejercicio 16. Sean X, Y espacios métricos y sea f : X ⟶ Y una función continua. Probar que el gráfico de f, definido por

G(f) = {(x, f(x)) ∈ X × Y : x ∈ X}

es cerrado en X × Y. ¿Es cierta la afirmación recíproca?

Ejercicio 17. Sea f : (X, d) ⟶ (Y, d′) una función. Analizar la validez de las siguientes afirmaciones:

i) Si X = ⋃_{i∈I} U_{i}, con cada U_{i} abierto y f|_{U_{i}} continua para todo i ∈ I, entonces f : X ⟶ Y es continua.

ii) Si X = ⋃_{i∈I} F_{i}, con cada F_{i} cerrado y f|_{F_{i}} continua para todo i ∈ I, entonces f : X ⟶ Y

es continua. iii) Si X = ⋃_{i=1}^{m} F_{i}, con cada F_{i} cerrado y f|_{F_{i}} continua para cada i = 1, …, m, entonces

f : X ⟶ Y es continua. iv) Si X = ⋃_{i=1}^{m} X_{i} y f|_{X_{i}} continua para cada i = 1, …, m, entonces f : X ⟶ Y es continua.

Ejercicio 18. Sea (X, d) un espacio métrico y sea f : X → ℝ. Probar que f es continua si y sólo si para todo α ∈ ℝ, los conjuntos {x ∈ X : f(x) < α} y {x ∈ X : f(x) > α} son abiertos.

Ejercicio 19. Sea (X, d) un espacio métrico y sea A un subconjunto de X. Probar que la función d_{A} : X ⟶ ℝ definida por d_{A}(x) = d(x, A) = inf_{a∈A} d(x, a) es (uniformemente) continua.

Ejercicio 20. Teorema de Urysohn. Sea (X, d) un espacio métrico y sean A, B cerrados disjuntos de X.

i) Probar que existe una función f : X ⟶ ℝ continua tal que:

f|_{A} ≡ 0  ,  f|_{B} ≡ 1  y  0 ≤ f(x) ≤ 1 ∀ x ∈ X

Sugerencia: Considerar la función f(x) = \frac{d_{A}(x)}{d_{A}(x) + d_{B}(x)}. ii) Deducir que existen abiertos U, V ⊂ X disjuntos tales que A ⊂ U y B ⊂ V.

Ejercicio 21. Sea f : ℤ ⟶ ℚ una función.

i) Probar que f es continua. ¿Sigue valiendo si f toma valores irracionales?

ii) Suponiendo que f es biyectiva, ¿puede ser un homeomorfismo?

Ejercicio 22. Sea (X, d) un espacio métrico, y sea Δ : X ⟶ X × X la aplicación diagonal definida por Δ(x) = (x, x). Probar que:

i) Δ es un homeomorfismo entre X y {(x, x) : x ∈ X} ⊂ X × X.

ii) Δ(X) es cerrado en X × X.

Ejercicio 23. Sean (X, d) e (Y, d′) espacios métricos. Una aplicación f : X ⟶ Y se dice abierta si f(A) es abierto para todo abierto A ⊂ X y se dice cerrada si f(F) es cerrado para todo cerrado F ⊂ X.

i) Probar que si f es biyectiva entonces, f es abierta (cerrada) si y sólo si f^{−1} es continua. ii) Dar un ejemplo de una función de ℝ en ℝ continua que no sea abierta. iii) Dar un ejemplo de una función de ℝ en ℝ continua que no sea cerrada. iv) Mostrar con un ejemplo que una función puede ser biyectiva, abierta y cerrada pero no

continua.

Ejercicio 24. Sean (X, d) e (Y, d′) espacios métricos y sea f : X ⟶ Y una función.

i) Probar que f es continua si y sólo f(\overline{E}) ⊂ \overline{f(E)} para todo subconjunto E ⊂ X. Mostrar con un ejemplo que la inclusión puede ser estricta.

ii) Probar que f es continua y cerrada si y sólo si f(\overline{E}) = \overline{f(E)} para todo subconjunto E ⊂ X.

Ejercicio 25.

i) Sean (X, d) e (Y, d′) espacios métricos y sea D ⊂ X denso. Sean f, g : X ⟶ Y funciones continuas. Probar que si f|_{D} = g|_{D}, entonces f = g.

ii) Sea f : ℝ ⟶ ℝ una función continua tal que f(x + y) = f(x) + f(y) para todo x, y ∈ ℚ. Probar que existe α ∈ ℝ tal que f(x) = α x para todo x ∈ ℝ.

Ejercicio 26. Sean (X, d) e (Y, d′) espacios métricos. Consideramos en X × Y la métrica d_{∞}.

i) Probar que las proyecciones π_{1} : X × Y ⟶ X y π_{2} : X × Y ⟶ Y son continuas y abiertas. Mostrar con un ejemplo que pueden no ser cerradas.

ii) Sea (Z, δ) un espacio métrico y sea f : Z ⟶ X × Y una aplicación. Probar que f es continua si y sólo si f_{1} = π_{1} ∘ f y f_{2} = π_{2} ∘ f lo son.

Ejercicio 27. Sean X, Y espacios métricos. Sea f : X ⟶ Y una función continua y suryectiva. i) Probar que si X es separable, entonces Y es separable. ii) ¿Es cierto que si X es completo, entonces Y es completo?

Ejercicio 28. Sea (X, d) un espacio métrico y sea f : X ⟶ ℝ una función. Se dice que f es semicontinua inferiormente (resp. superiormente) en x_{0} ∈ X si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que

d(x, x_{0}) < δ ⟹ f(x_{0}) < f(x) + ε (resp. f(x_{0}) + ε > f(x))

Probar que:

i) f es continua en x_{0} si y sólo si f es semicontinua inferiormente y superiormente en x_{0}.

ii) f es semicontinua inferiormente si y sólo si f^{−1}(α, +∞) es abierto para todo α ∈ ℝ.

iii) f es semicontinua superiormente si y sólo si f^{−1}(−∞, α) es abierto para todo α ∈ ℝ.

Completitud

Ejercicio 29. Sea (X, d) un espacio métrico y sea (x_{n})_{n∈ℕ} ⊂ X. Probar:

i) lim_{n→∞} x_{n} = x si y sólo si para toda subsucesión (x_{n_{k}})_{k∈ℕ}, lim_{k→∞} x_{n_{k}} = x

ii) Si existe x ∈ X para el cual toda subsucesión (x_{n_{k}})_{k∈ℕ} de (x_{n})_{n∈ℕ} tiene una subsucesión (x_{n_{k_{j}}})_{j∈ℕ} tal que lim_{j→∞} x_{n_{k_{j}}} = x, entonces (x_{n})_{n∈ℕ} converge y lim_{n→∞} x_{n} = x

iii) Si (x_{n})_{n∈ℕ} es convergente, entonces (x_{n})_{n∈ℕ} es de Cauchy. ¿Vale la recíproca?

iv) Si (x_{n})_{n∈ℕ} es de Cauchy, entonces es acotada.

v) Si (x_{n})_{n∈ℕ} es de Cauchy y tiene una subsucesión (x_{n_{k}})_{k∈ℕ} tal que lim_{k→∞} x_{n_{k}} = x ∈ X,

entonces (x_{n})_{n∈ℕ} converge y lim_{n→∞} x_{n} = x

Ejercicio 30. Probar que si toda bola cerrada de un espacio métrico X es un subespacio completo de X, entonces X es completo.

Ejercicio 31. Sea (X, d) un espacio métrico.

i) Probar que todo subespacio completo de (X, d) es un subconjunto cerrado de X.

ii) Probar que si X es completo, entonces todo subconjunto F ⊆ X cerrado, es un subespacio completo de X.

Ejercicio 32. Teorema de Cantor. Probar que un espacio métrico (X, d) es completo si y sólo si toda familia (F_{n})_{n∈ℕ} de subconjuntos de X cerrados, no vacíos tales que F_{n+1} ⊂ F_{n} para todo n ∈ ℕ y diam(F_{n}) ⟶ 0 tiene un único punto en la intersección.

Ejercicio 33. Sean (X, d) e (Y, d′) espacios métricos. Probar que (X × Y, d_{∞}) es completo si y sólo si (X, d) e (Y, d′) son completos.

Ejercicio 34.

i) Sea X un espacio métrico y sea B(X) = {f : X → ℝ / f es acotada }. Probar que (B(X), d_{∞}) es un espacio métrico completo, donde d_{∞}(f, g) = sup_{x∈X} |f(x) − g(x)|.

ii) Sean a, b ∈ ℝ, a < b. Probar que (C[a, b], d_{∞}) es un espacio métrico completo, donde

d_{∞}(f, g) = sup_{x∈[a,b]} |f(x) − g(x)|.

Ejercicio 35. Sea (X, d) un espacio métrico y sea D ⊂ X un subconjunto denso con la propiedad que toda sucesión de Cauchy (a_{n})_{n∈ℕ} ⊂ D converge en X. Probar que X es completo.

Continuidad Uniforme

Ejercicio 36. Sean (X, d) e (Y, d′) espacios métricos y sea f : X ⟶ Y una función que satisface:

d′(f(x_{1}), f(x_{2})) ≤ c d(x_{1}, x_{2})

para todo x_{1}, x_{2} ∈ X, donde c ≥ 0. Probar que f es uniformemente continua.

Ejercicio 37.

i) Sean (X, d) e (Y, d′) espacios métricos, A ⊆ X y f : X ⟶ Y una función. Probar que si existen α > 0, (x_{n})_{n∈ℕ}, (y_{n})_{n∈ℕ} ⊂ A sucesiones y n_{0} ∈ ℕ tales que

(a) d(x_{n}, y_{n}) ⟶ 0 para n → ∞

(b) d′(f(x_{n}), f(y_{n})) ≥ α para todo n ≥ n_{0} entonces f no es uniformemente continua en A.

ii) Verificar que la función f(x) = x^{2} no es uniformemente continua en ℝ. ¿Y en ℝ_{≤−π}? iii) Verificar que la función f(x) = sen (1/x) no es uniformemente continua en (0, 1).

Ejercicio 38.

i) Sea f : (X, d) ⟶ (Y, d′) una función uniformemente continua y sea (x_{n})_{n∈ℕ} una sucesión de Cauchy en X. Probar que (f(x_{n}))_{n∈ℕ} es una sucesión de Cauchy en Y.

ii) Sea f : (X, d) ⟶ (Y, d′) un homeomorfismo uniforme. Probar que (X, d) es completo si y sólo si (Y, d′) es completo. En particular, si un espacio métrico X es completo para una métrica lo es para cualquier otra métrica uniformemente equivalente.

Ejercicio 39.

i) Dar un ejemplo de una función f : ℝ ⟶ ℝ acotada y continua pero no uniformemente continua.

ii) Dar un ejemplo de una función f : ℝ ⟶ ℝ no acotada y uniformemente continua.

Ejercicio 40. Sea f : (X, d) ⟶ (Y, d′) una función uniformemente continua, y sean A, B ⊂ X conjuntos no vacíos tales que d(A, B) = 0. Probar que d′(f(A), f(B)) = 0.

Ejercicio 41. Sean X e Y espacios métricos, Y completo. Sea D ⊂ X denso y sea f : D ⟶ Y una función uniformemente continua. Probar que f tiene una única extensión continua a todo X, es decir, existe una única función F : X ⟶ Y continua tal que F |_{D} = f. (Más aún, F es uniformemente continua).

Conjuntos Perfectos

Ejercicio 42. Sea C el conjunto de Cantor.

1. Probar que C es cerrado y acotado (luego compacto).

2. Probar que C es perfecto (i.e. C = C′).

3. Probar que C tiene interior vacío.

4. Probar que x ∈ C sii su desarrollo en base 3 tiene sólo las cifras 0 y 2.

5. Probar que C tiene la potencia del continuo.

Ejercicio 43. Sea (X, d) un espacio métrico completo. Probar que si P ⊆ Xes perfecto entonces es no numerable.

Ejercicio 44.

1. Sea S ⊆ ℝ^{n} y no numerable. Sea T elconjunto de puntos de condensación de S (que por el ejercicio 10 de la práctica 2 es no vacío). Probar que:

(a) S − T es numerable.

(b) S ∩ T es no numerable.

(c) T es un conjunto cerrado.

(d) T no posee puntos aislados.

2. Teorema de Cantor-Bendixon. Probar que si F es un conjunto cerrado no numerable de ℝ^{n} puede expresarse en la forma F = A ∪ B, donde A es perfecto y B es numerable.