Cálculo Avanzado Primer Cuatrimestre de 2003

Práctica 5

Baire

Ejercicio 1. Probar que ℝ^{n} no puede escribirse como unión numerable de subespacios vectoriales propios.

Ejercicio 2. Sean (X, d) un espacio métrico completo sin puntos aislados y sea D un subconjunto denso y numerable de X. Probar que D no es un G_{δ}.

Ejercicio 3. Demostrar que no existe ninguna función f : ℝ ⟶ ℝ que sea continua sólo en los racionales. Sugerencia: Para cada n ∈ ℕ considerar

U_{n} = \{x ∈ ℝ / ∃ U ⊆ ℝ abierto con x ∈ U y diam(f(U)) < \frac{1}{n}\}

Ejercicio 4. Sea (I_{n})_{n∈ℕ} la sucesión de intervalos de [0, 1] con extremos racionales y para cada n ∈ ℕ sea

E_{n} = {f ∈ C[0, 1] / f es monótona en I_{n}}.

i) Probar que para cada n ∈ ℕ, E_{n} es cerrado y nunca denso en (C[0, 1], d_{∞}).

ii) Deducir que existen funciones continuas en el intervalo [0, 1] que no son monótonas en ningún subintervalo.

Compacidad

Ejercicio 5.

i) Sea (a_{n})_{n∈ℕ} ⊂ ℝ tal que lim_{n→∞} a_{n} = 0. Probar que el conjunto {0} ∪ {a_{n} / n ∈ ℕ} ⊂ ℝ es compacto.

ii) Mostrar que el intervalo (0, 1] ⊂ ℝ no es compacto.

iii) Sea S = (a, b) ∩ ℚ con a, b ∈ ℝ − ℚ. Probar que S es un subconjunto cerrado y acotado pero no compacto de (ℚ, d), donde d es la métrica euclídea de ℝ.

Ejercicio 6. Probar que todo espacio métrico compacto es separable.

Ejercicio 7. Sea A = {a^{(n)} ∈ ℓ^{∞} / n ∈ ℕ}, donde cada sucesión a^{(n)} = (a_{k}^{(n)})_{k∈ℕ} está definida por

a_{k}^{(n)} = \{ \begin{matrix}0 & si k ≠ n \\ 1 & si k = n \end{matrix}

Probar que A es discreto, cerrado y acotado, pero no compacto.

Ejercicio 8. Dado un cubrimiento por abiertos (U_{i})_{i∈I} de un espacio métrico (X, d), un número ε > 0 se llama número de Lebesgue de (U_{i})_{i∈I} si para todo x ∈ X existe j ∈ I tal que B(x, ε) ⊂ U_{j}. Probar que todo cubrimiento por abiertos de un espacio métrico compacto tiene un número de Lebesgue.

Ejercicio 9. Sea (X, d) un espacio métrico. Se dice que una familia (F_{i})_{i∈I} de subconjuntos de X tiene la propiedad de intersección finita (P.I.F.) si cualquier subfamilia finita de (F_{i})_{i∈I} tiene intersección no vacía. Probar que los siguientes enunciados son equivalentes:

i) X es compacto.

ii) Toda familia (F_{i})_{i∈I} de subconjuntos cerrados de X con la P.I.F. tiene intersección no vacía.

iii) Todo subconjunto infinito de X tiene un punto de acumulación en X.

iv) X es secuencialmente compacto (es decir, toda sucesión en X tiene una subsucesión convergente).

v) X es completo y totalmente acotado.

Ejercicio 10. Sea (X, d) un espacio métrico. Probar que:

i) Toda unión finita y toda intersección (finita o infinita) de subconjuntos compactos de X es compacta.

ii) Si (X, d) es compacto, todo subconjunto cerrado de X es compacto.

iii) Un subconjunto F ⊂ X es cerrado si y sólo si F ∩ K es cerrado para todo compacto K ⊂ X.

Ejercicio 11. Sea c_{0} = {(x_{n})_{n∈ℕ} ⊂ ℝ / lim_{n→∞} x_{n} = 0}. Se define en c_{0} la métrica

d(x, y) = sup{|x_{n} − y_{n}| / n ∈ ℕ}

i) Demostrar que la bola cerrada \overline{B}(x, 1) = \{y ∈ C_{0} / d(x, y) ≤ 1\} no es compacta.

ii) Probar que (c_{0}, d) es separable.

Ejercicio 12. Sean (X, d) e (Y, d′) espacios métricos. Se considera (X × Y, d_{∞}), donde d_{∞}((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) = max{d(x_{1}, x_{2}), d′(y_{1}, y_{2})}. Probar que (X × Y, d_{∞}) es compacto si y sólo si (X, d) e (Y, d′) son compactos.

Ejercicio 13. Sea (X, d) un espacio métrico.

i) Sean K ⊂ X un compacto y sea x ∈ X − K. Probar que existe y ∈ K tal que d(x, K) = d(x, y); es decir, la distancia entre x y K ‘se realiza’.

ii) Sean F, K ⊂ X dos subconjuntos disjuntos de X tales que F es cerrado y K es compacto. Probar que la distancia d(F, K) entre F y K es positiva.

iii) Sean K_{1}, K_{2} ⊂ X dos subconjuntos compactos de X tales que K_{1} ∩ K_{2} = ∅. Probar que existen x_{1} ∈ K_{1} y x_{2} ∈ K_{2} tales que d(K_{1}, K_{2}) = d(x_{1}, x_{2}); es decir, la distancia entre K_{1} y K_{2} ‘se realiza’.

Ejercicio 14. Sea (X, d) un espacio métrico completo. Se define

K(X) = {K ⊂ X / K es compacto y no vacío}

i) Sea d̃(A, B) = sup_{a∈A}{d(a, B)}. Verificar que d̃ no es una métrica en K(X).

ii) Se define δ : K(X) × K(X) → ℝ como δ(A, B) = max{d̃(A, B), d̃(B, A)}. Probar que para todo ε > 0 vale

δ(A, B) < ε  ⟺  A ⊂ B(B, ε) y B ⊂ B(A, ε)

donde B(C, ε) = {x ∈ X / d(x, C) < ε} para cada C ⊂ X.

iii) Probar que δ es una métrica en K(X).

Ejercicio 15. Sean (X, d) e (Y, d′) espacios métricos y f : X ⟶ Y continua y biyectiva. Probar que si (X, d) es compacto, entonces f es un homeomorfismo.

Ejercicio 16. Sea (X, d) un espacio métrico compacto. Probar que para cada espacio métrico (Y, d′), la proyección π : X × Y → Y definida por π(x, y) = y es cerrada.

Ejercicio 17. Sean (X, d) e (Y, d′) espacios métricos, y sea f : X ⟶ Y una función. Probar que si Y es compacto y el gráfico de f es cerrado en X × Y, entonces f es continua.

Ejercicio 18.

i) Sea f : ℝ_{≥a} ⟶ ℝ una función que es uniformemente continua en [a, b] y también en [b, +∞). Probar que f es uniformemente continua en ℝ_{≥a}.

ii) Deducir que \sqrt{x} es uniformemente continua en ℝ_{≥0}.

iii) Sea f : ℝ ⟶ ℝ continua y tal que lim_{x→−∞} f(x) = lim_{x→+∞} f(x) = 0. Probar que f es uniformemente continua en ℝ.

Ejercicio 19. Sea (X, d) un espacio métrico y sea A ⊂ X compacto. Probar que si f : A ⟶ ℝ es continua y f(x) > 0 para todo x ∈ A, entonces existe K > 0 tal que f(x) ≥ K para todo x ∈ A.

Ejercicio 20. Sea f : ℝ ⟶ ℝ una función continua y abierta.

i) Probar que f no tiene extremos locales; es decir, no existen x_{0} ∈ ℝ y ε > 0 tales que f(x_{0}) ≤ f(x) (resp. f(x_{0}) ≥ f(x)) para todo x ∈ (x_{0} − ε, x_{0} + ε)

ii) Comprobar que existen a, b ∈ ℝ ∪ {−∞, ∞} tales que f(ℝ) = (a, b). iii) Mostrar que f : ℝ ⟶ (a, b) es un homeomorfismo y que ella y su inversa son funciones

monótonas.

Ejercicio 21. Sea (X, d) un espacio métrico compacto y sea f : X ⟶ ℝ una función semicontinua superiormente. Probar que f está acotada superiormente en X y que f alcanza máximo en X.

Ejercicio 22. Sea D ⊂ X un subconjunto denso, y sea f : D → ℝ uniformemente continua. Probar que f tiene una única extensión a todo X.¿ Puede ℝ reemplazarse por ℝ^{k}? ¿ Por cualquier espacio métrico compacto? ¿ Por cualquier espacio completo? ¿ Por cualquier espacio métrico?

Conexión

Ejercicio 23. Decidir cuáles de los siguientes subconjuntos son conexos:

\{x ∈ ℝ^{2} / 0 < |x| < 2\} , ℕ , [0, 1) , ℚ , \{\frac{1}{n} / n ∈ ℕ\} B(a, ε) (ε > 0) en un espacio métrico (X, d).

Ejercicio 24.

i) Dar ejemplos de conjuntos conexos A, B ⊂ ℝ^{n} tales que A ∪ B no sea conexo. Idem para A ∩ B y A − B.

ii) Sea C ⊂ ℝ^{n} conexo y sea x un punto de acumulación de C. Probar que C ∪ {x} es conexo. iii) Determinar la validez de las siguientes afirmaciones:

(a) Si C es conexo, entonces C^{∘} es conexo.

(b) Si C es conexo, entonces \overline{C} es conexo.

Ejercicio 25. Sea (X, d) un espacio métrico y sea C ⊂ X. Probar que son equivalentes: i) No existen U, V abiertos en C, no vacíos y disjuntos tales que C = U ∪ V ii) No existen U, V abiertos en X y disjuntos, de modo que C ∩U ≠ ∅, C ∩V ≠ ∅ y C ⊂ U ∪V iii) Si A ⊂ C es no vacío y abierto y cerrado en C, entonces A = C Ejercicio 26. Sea (X, d) un espacio métrico y sea A una familia de conjuntos conexos de X tal que para cada par de conjuntos A, B ∈ A existen A_{0}, …, A_{n} ∈ A que satisfacen A_{0} = A, A_{n} = B y A_{i} ∩ A_{i+1} ≠ ∅ para cada i = 0, …, n − 1. Probar que ⋃_{A∈A} A es conexo.

Ejercicio 27. Sea f : ℝ ⟶ ℤ continua. Probar que f es constante.

Ejercicio 28. Probar que un espacio métrico (X, d) es conexo si y sólo si toda función continua f : X ⟶ {0, 1} es constante.

Ejercicio 29. Probar que si n ≥ 2 no existe un homeomorfismo entre ℝ y ℝ^{n}.

Ejercicio 30.

i) Probar que si f : [0, 1] ⟶ [0, 1] es continua y suryectiva, existe x_{0} ∈ [0, 1] tal que f(x_{0}) = x_{0}.

ii) Sea (X, d) un espacio métrico conexo y sea f : X ⟶ ℝ una función continua. Sean a, b ∈ f(X) tales que a ≤ b. Probar que para todo c ∈ [a, b] existe x ∈ X tal que f(x) = c. ¿Vale la recíproca?

iii) Probar que si (X, d) es conexo, entonces ♯X = 1 o ♯X ≥ c.

Ejercicio 31. Hallar las componentes conexas de los siguientes subconjuntos de ℝ y de ℝ^{2}

i)arcsen([\frac{\sqrt{2}}{2}, 1])  iii)B((−1, 0), 1) ∪ B((1, 0), 1)
ii)ℚ  iv)B((−1, 0), 1) ∪ B((1, 0), 1) ∪ {(0, 0)}

Ejercicio 32. Para cada n ∈ ℕ, sea A_{n} = \{\frac{1}{n}\} × [0, 1], y sea X = ⋃_{n∈ℕ}A_{n} ∪ \{(0, 0), (0, 1)\}. Probar que:

i) {(0, 0)} y {(0, 1)} son componentes conexas de X

ii) Si B ⊂ X es abierto y cerrado en X, entonces {(0, 0), (0, 1)} ⊂ B o {(0, 0), (0, 1)} ∩ B = ∅.

Ejercicio 33. Sea (X, d) un espacio métrico. Probar que las componentes conexas de X son conjuntos cerrados.

Ejercicio 34. Probar que los siguientes conjuntos son totalmente disconexos:

i) Un espacio métrico discreto con cardinal mayor o igual que 2

ii) ℚ iii) El conjunto de Cantor

Arco-Concexión

Ejercicio 35. Sea (X, d) un espacio métrico. Un conjunto A ⊂ X se dice arcoconexo (o conexo por arcos) si para todo par de puntos a, b ∈ A existe una función continua f : [0, 1] → X tal que f(0) = a y f(1) = b.

i) Probar que todo conjunto arcoconexo es conexo.

ii) Exhibir un ejemplo de un conjunto conexo que no sea arcoconexo.

Ejercicio 36. Decidir cuáles de los siguientes conjuntos son arcoconexos:

i) {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} / z = f(x, y)} donde f : ℝ^{2} ⟶ ℝ es una función continua.

ii) B(0, 1) ⊂ ℝ^{n}, ℝ^{n} − B(0, 1) iii) ℝ^{2} − {(x, 0) / x ∈ ℝ} iv) ℝ^{2} − {(0, 0)}

Ejercicio 37. Sean (X, d) un espacio métrico arcoconexo, (Y, d′) un espacio métrico y f : X ⟶ Y una función continua. Probar que el conjunto f(X) es arcoconexo.

Ejercicio 38. Un espacio métrico (X, d) se dice localmente conexo (resp. localmente arcoconexo) si para todo x ∈ X y para todo U ⊂ X entorno de x, existe un entorno conexo (resp. arcoconexo) V de x tal que x ∈ V ⊂ U. Probar que:

i) Si A ⊂ ℝ^{n} es abierto, entonces A es conexo ⟺ A es arcoconexo ii) Un espacio métrico es localmente conexo si y sólo si las componentes conexas de los abiertos

son abiertas. iii) Todo espacio métrico conexo y localmente arcoconexo es arcoconexo. iv) En un espacio métrico localmente arcoconexo todo conjunto abierto y conexo es arco-

conexo.

v) Las componentes arcoconexas de un espacio localmente arcoconexo son abiertas.

Ejercicio 39. En el espacio (C[0, 1], d_{∞}) se considera el conjunto

U = {f ∈ C[0, 1] : f(x) ≠ 0 ∀ x ∈ [0, 1]}

Probar que U es abierto y hallar sus componentes conexas.