Cálculo Avanzado - Práctica 6

Primer cuatrimestre de 2003

Temas: Espacios Normados

1. Hacer una lista de los espacios métricos vistos hasta ahora.¿ Cuáles son normados ? ¿ Cuáles son de Banach ?

2. Sea (E, ∥ · ∥) un espacio normado. Probar que se verifican:

(a) Las operaciones + : E × E → E y · : ℝ( oℂ) × E → E son continuas.

(b) \overline{B_{r}(x)} = \overline{B}_{r}(x) (la clausura de la bola abierta es la bola cerrada).

(c) diam(B_{r}(x)) = 2r.

3. Sea (E, ∥ · ∥) un espacio normado y sea C ⊂ E. Decimos que C es convexo si ∀ x, y ∈ C y ∀ t ∈ [0, 1] se tieneque tx + (1 − t)y ∈ C.

(a) Probar que B_{r}(x) es convexo.

(b) Probar que si (C_{i})_{i∈I} son convexos, entonces ∩_{i∈I}C_{i} lo es.

(c) Probar que si C es convexo, entonces C^{∘} lo es.

(d) Probar que si C es convexo, entonces \overline{C} lo es.

4. Sea (E, ∥ · ∥) un espacio normado y S ⊂ E un subespacio (vectorial). Probar que:

(a) \overline{S} también es un subespacio.

(b) Si S ≠ E , entonces S^{o} = ∅.

(c) Si dim(S) < ∞ , entonces S es cerrado

(d) Si S es un hiperplano (o sea: ∃ x ≠ 0 ∈ E tal que S ⊕ ⟨x⟩ = E ), entonces S es o bien denso o bien cerrado en E.

5. Sea (E, ∥ · ∥) un espacio de Banach y (x_{n}) ⊂ E. Si∑_{n=1}^{∞} ∥x_{n}∥ convege, entonces ∑_{n=1}^{∞} x_{n} converge.

6. Para cada uno de los siguientes ejemplos de subespacios decidir si son cerrados, si son densos y si son hiperlanos.

(a) c = {(x_{n})_{n∈ℕ} : ∃ lim_{n→∞} x_{n}} ⊂ l^{∞}

(b) c_{0} = {(x_{n})_{n∈ℕ} : x_{n} → 0} ⊂ c

(c) {x ∈ l^{1} : ∑_{n=1}^{∞} x_{n} = 0} ⊂ l^{1}

(d) {x ∈ l^{2} : ∑_{n=1}^{∞} x_{n} = 0} ⊂ l^{2}

(e) ℝ[X](polinomios en una variable) ⊂ C[0, 1]

(f) C^{1}[a, b] ⊂ C[a, b]

7. Sean E y F espacios normados. SeaT : E → F una operador lineal. Probar que son equivalentes:

(a) T es continuo en 0.

(b) ∃x_{0} ∈ E tal que T es continuo en x_{0}.

(c) T es continuo.

(d) T es uniformemente continuo.

(e) ∃M > 0/ ∀x ∈ M : ∥T x∥ ≤ M∥x∥. (T esacotada)

(f) ∀A ⊂ E acotado, T (A) es acotado.

8. Sean (E, ∥·∥_{E}), (F, ∥·∥_{F}) espacios normados. Consideramos L(E, F) = {T : E → F/ T es lineal y continua}, y para cada T ∈ L(E, F) sea

∥T ∥ = sup_{∥x∥_{E}≤1} ∥T (x)∥_{F}

Probar que:

(a) (L(E, F), ∥ · ∥) es un espacio normado.

(b) Si F es de Banach entonces L(E, F) también lo es.

9. Sean E y F espacios normados y sea T : E → F un operador linal y continuo. Verificar las siguientes fórmulas:

∥T ∥ = sup_{∥x∥≤1} ∥T x∥ = sup_{∥x∥=1} ∥T x∥ =

= sup_{x≠0} \frac{∥T x∥}{∥x∥} = inf\{M/ ∥T x∥ ≤ M∥x∥\}

10. Sea k : [0, 1] × [0, 1] → ℝ continua y sea K : C[0, 1] → C[0, 1] dada por

Kf(x) = ∫_{0}^{1} k(x, y)f(y)dy

Probar que K es lineal y continua. Acotar su norma.

11. (a) En ℝ^{(ℕ)} = {(a_{n})_{n≥1}/ ∃n_{0}, a_{n} = 0 ∀n ≥ n_{0}} ponemos la norma infinito. Probar que la función f : ℝ^{(ℕ)} → ℝ definida por

f((a_{n})_{n≥1}) = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}

es lineal pero no continua.

12. (a) Sea ϕ ∈ C[0, 1] y sea T_{ϕ} : C[0, 1] → ℝ dada por

T_{ϕ}f = ∫_{0}^{1} f(x)ϕ(x)dx

Probar que T_{ϕ} es un funcional lineal continuo y que∥T_{ϕ}∥ = ∫_{0}^{1} |ϕ(x)|dx (b) Sea T : c → ℝ dada por T (a) = lim_{n→∞} a_{n}.Probar que T es lineal,

continuo y hallar ∥T ∥.

(c) Sea 1 ≤ p ≤ ∞, p′ = \frac{p}{p−1} el conjugado de p y seab ∈ l^{p′}. Definimos T_{b} : l^{p} → ℝ como sigue

T_{b}(a) = ∑_{n=1}^{∞} b_{n}a_{n}

Probar que T_{b} es lineal, continuo y hallar ∥T_{b}∥.

13. Sea (E, ∥ · ∥) un espacio normado de dimensión n y sea f : ℝ^{n} ⟶ E un isomorfismo algebraico. Consideramos en ℝ^{n} la norma :∥x∥_{∞} = max_{1≤i≤n} |x_{i}|

(a) Probar que K = {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥_{∞} = 1} es compacto en ℝ^{n}

(b) Probar que existen c_{1}, c_{2} > 0 tales que para todo x ∈ ℝ^{n} :c_{1}∥x∥_{∞} ≤ ∥f(x)∥_{E} ≤ c_{2}∥x∥_{∞}

(c) Deducir que si N_{1}, N_{2} son dos normas en ℝ^{n}, entonces existen constantes a, b > 0 tales que para todo x ∈ ℝ^{n} : aN_{1}(x) ≤ N_{2}(x) ≤ bN_{2}(x) (esto es: son equivalentes)

14. Sean E un espacio de Banach y S, T subespacios cerrados, con dimT < ∞. Probar que S + T es cerrado.

15. (Lema de Riesz) Sean E un espacio normado, S ⊂ E un subespacio vectorial cerrado propio, y 0 < α < 1. Probar que existe x_{α} ∈ E − S tal que ∥x_{α}∥ = 1 y ∥s − x_{α}∥ > α ∀s ∈ S.Sug: Considerar x ∉ S, r = d(x, S) y x_{α} = \frac{(x−b)}{∥x−b∥} con b ∈ S adecuado.

16. Sean E un espacio normado de dimensión infinita. Probar que existe (ω_{n})_{n∈ℕ} ⊆ E tal que ∥ω_{n}∥ = 1 y d(ω_{n}, ω_{m}) > 1/2, n ≠ m. Deducir que \overline{B_{1}(0)} noes compacta. (Sugerencia: aplicar el lema de Riesz a una sucesión creciente de subespacios de dimensión finita)

17. Sea (E, ∥ · ∥) un espacio normado y H ⊂ E un subespacio.Probar que H es un hiperplano si y sólo existe γ : E → ℝ(o ℂ) lineal , γ ≠ 0 tal que H = Nu(γ). Probar que H escerrado si y sólo si γ es continua.

18. Sea E un espacio de Banach de dimensión infinita. Probar que nopuede tener una base algebraica numerable. (Sugerencia: sino se escribiría como unión numerable de subespacios de dimensión finita.Usar el teorema de Baire.)