Cálculo Avanzado - Práctica 7

Primer cuatrimestre de 2003

Tema: Convergencia Uniforme

1. (a) Hallar el límite puntual de la sucesión (f_{n})_{n∈ℕ} definida sobre A ⊆ ℝ. i. f_{n}(x) = x^{n} A = (−1, 1] ii. f_{n}(x) = \frac{e^{x}}{x^{n}} A = (1, +∞) iii. f_{n}(x) = n^{2}x(1 − x^{2})^{n} A = [0, 1]

(b) Para i) demostrar que la convergencia es uniforme en A = (0, 1/2], idem en ii) con A = [2, 5]¿ Es uniforme la convergencia de iii) en A o en algún sub-intervalo de A?

2. Analizar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de funciones:

(a) f_{n}(x) = \frac{sin nx}{n}, x ∈ ℝ

(b) f_{n}(x) = sen (\frac{x}{n}) , x ∈ ℝ

(c) f_{n}(z) = \frac{n}{n + 1}z, z ∈ ℂ

(d) f_{n}(z) = nz^{2}, z ∈ ℂ

3. Probar que cualquier sucesión de funciones acotadas uniformemente convergente, está uniformemente acotada.

4. Dada f_{n}(x) = \frac{x}{1 + x^{2}} − \frac{(x^{2} + 1)x}{1 + (n + 1)^{2}x^{2}} , probar que converge puntual-

mente pero no uniformemente a una función continua.

5. Sea (X, d) un espacio métrico. Si (f_{n}) : X → ℝ y (g_{n}) ⊂: X → ℝ convergen uniformemente en E ⊂ X, probar que (f_{n} + g_{n}) converge uniformemente en E. Si además (f_{n}) y (g_{n}) son uniformemente acotadas, entonces (f_{n}g_{n}) es uniformemente convergente. Mostrar con un ejemplo que esta última restricción es necesaria.

6. (a) Sea (f_{n})_{n∈ℕ} una sucesión de funciones con f_{n} : ℝ ⟶ ℝ, cada una de ellas derivable, que converge uniformemente a una función f : ℝ ⟶ ℝ y f′_{n} converge uniformemente a una función g : ℝ ⟶ ℝ.Probar que f es derivable y que f′ = g.

(b) Sea ∑_{k=0}^{∞} f_{n}(x) una serie de funciones. ¿ Con qué hipótesis es legítimo derivarla término a término ?

(c) Probar que la serie

∑_{n=1}^{∞} \frac{sen(nx)}{n^{2}}

converge uniformemente en ℝ , pero que esto no ocurre para la serie obtenidaderivando término a término.

7. Hallar (y justificar) los conjuntos en ℝ de convergencia puntual, uniforme y no convergencia de las siguientes series:

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n} x^{n} (b) ∑_{n=0}^{∞} a^{n}x^{n} (c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} (d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n^{2}}

¿ Qué ocurre con la serie que se obtiene derivando término a término ?

8. Consideramos la función dada por la serie:

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}

Probar que la serie converge uniformemente en cada intervalo (1 + ε, ∞) hacia una función continua , y que es posible derivarla término a término en dicho intervalo.

9. (Teorema de Dini) Sea K compacto y (f_{n})_{n∈ℕ} ⊂ C(K) que converge puntualmente a f ∈ C(K). Para cada x ∈ K setiene f_{n}(x) ≥ f_{n+1}(x). Probar que f_{n} converge uniformemente en K.