Cálculo Avanzado - Práctica 8

Primer cuatrimestre de 2003

Temas: Teorema de Punto Fijo

1. Sea (X, d) un espacio métrico completo y sea f : X → X. Probar que la condición

d(f(x), f(y)) < d(x, y) ∀ x, y ∈ X

no es suficiente para garantizar la existencia de un punto fijo de f, pero que sí lo es si X es compacto.

2. Sea f : ℝ → ℝ una función derivable tal que |f′(x)| ≤ α < 1. Probar que f tiene un único punto fijo.

3. Considere la siguiente ecuación integral no lineal:

f(x) = λ ∫_{a}^{b} K(x, y; f(y))dy + φ(x)

con K y φ continuas, tal que K satisface la condición de Lipschitz en la tercer variable :

|K(x, y; z_{1}) − K(x, y; z_{2})| ≤ M|z_{1} − z_{2}|

Probar que la ecuación integral tiene solución única para todo

|λ| < \frac{1}{M(b − a)}.

Muestre una sucesión que converja a la solución.

4. Sea f : [0, T] × Ω ⊂ ℝ^{n} → ℝ^{n} una función continua y lipchitz en la segunda variable.

(a) y ∈ (C[0, T], Ω) es solución de la ecuación diferencial y′(t) = f(t, y(t)) con la condición inicial y(0) = 0 si y sólo si

y(t) = y_{0} + ∫_{0}^{t} f(t, y(s))ds ∀t ∈ [0, T]

(b) Probar que si T es suficientemente pequeño , existe una única solución de este problema.

5. Sea X un espacio métrico completo y sea T : X → X tal que existe n ∈ ℕ tal que T^{n} es una contracción. Entonces existe un único x ∈ X tal que T (x) = x.

6. (a) Probar que existe una única función continua f : ℝ → ℝ que es solución de la siguiente ecuaci’on integral

f(x) = λ ∫_{a}^{x} K(x, y)f(y)dy + ϕ(x)

donde K : ℝ × ℝ → ℝ y ϕ : ℝ → ℝ son continuas.

(b) Sea A : ℝ → ℝ^{n×n} continua. Probar que las soluciones de

x′(t) = A(t)x(t)

están definidas para todo tiempo t.