Cálculo Avanzado - Práctica 9

Primer cuatrimestre de 2003

Temas: Teorema de Baire , Diferenciación , Teorema de Weierstrass(ℝ[X] es denso en C[a, b])

1. Sea (X, d) espacio métrico. Se dice que un conjunto A ⊂ X es nunca denso si \overline{A}^{∘} = ∅.

(a) Probar que si A es nunca denso, entonces X − A es denso. Vale el recíproco?

(b) Probar que si A es abierto y denso, entonces X−A es nunca denso.

2. Sea (X, d) espacio métrico y A ⊂ X. Probar que son equivalentes

(a) A es nunca denso.

(b) Toda bola B abierta contiene otra B_{1} ⊂ B abierta tal que B_{1}∩A = ∅

(c) A no es denso en ninguna bola abierta.

3. Sea Lip[a, b] = {f ∈ C[a, b]/ ∃k > 0, |f(x) − f(y)| ≤ k|x − y|}.Probar que Lip[a, b]^{∘} = ∅ en C[a, b].

4. Probar que el conjunto de funciones continuas que tienen algún intervalo de monotonía, tiene interior vacío en C[a, b].

5. Para cada una de las siguientes funciones definidas en ℝ^{2} analizar si existen las derivadas parciales, si son diferenciables y si son C^{1}.

f(x, y) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

g(x, y) = \frac{xy}{x^{2} + y^{2}}

h(x, y) = \frac{xy}{x^{2} + y^{4}}

si (x, y) ≠ (0, 0). f(0, 0) = g(0, 0) = h(0, 0) = 0 6. Sea f : Ω ⊂ ℝ^{n} → ℝ de clase C^{1} donde Ω es un abierto convexo. Probar

que |f(x) − f(y)| ≤ ∥∇f(ξ)∥∥x − y∥ donde ξ pertenece al segmento que une x e y.

7. (a) Sean f : ℝ^{n} → ℝ una funci’on de clase C^{1}, S_{a} = {x ∈ ℝ^{n}/ f(x) = a} y x_{0} ∈ S_{a}. Probar que si ∇f(x_{0}) ≠ 0, entonces ∇f(x_{0}) es ortogonal a S_{a} en x_{0} (i.e. ∇f(x_{0}) es ortogonal al hiperplano tangente a S_{a} que pasa por x_{0}).

(b) (multiplicadores de Lagrange) Sean f y S_{a} como antes y g : ℝ^{n} → ℝ de clase C^{1}, entonces si x_{0} es un mínimo (o máximo) de g restringida a S_{a} y si ∇f(x_{0}) ≠ 0, existe un λ ∈ ℝ tal que: ∇g(x_{0}) = λ∇f(x_{0}).

8. (a) Sea T : C([0, 1]) → C([0, 1]) dada por T (f) = f^{2} . Probar que T es diferenciable y que su diferencial está dada por DT (f)(h) = 2f ·h.

(b) Sea T : l^{2} → l^{1} dada por (T x)_{n} = x_{n}^{2}. Probar que T es diferenciable y calcular su diferencial.

9. Probar que C[0, 1] es separable.

10. Sea f : [0, 1] → ℝ continua tal que

∫_{0}^{1} f(x)x^{n}dx = 0 (n = 0, 1, 2, ...)

Probar que entonces f ≡ 0 en [0, 1].