ECUACIONES DIFERENCIALES PRACTICA 0 Primer cuatrimestre 2004

Repaso de Resultados Básicos

Ejercicio 1. Revisar los siguientes teoremas

i) Teorema de convergencia mon’otona de Beppo-Levi. ii) Teorema de convergencia dominada de Lebesgue. iii) Lema de Fatou.

Ejercicio 2. Diferenciaci’on bajo el signo integral. Sea U ⊂ R^{n} medible, x_{0} ∈ R^{n}. Si f(x, .) ∈ L^{1}(U) para |x − x_{0}| < ε y g ∈ L^{1}(U) es tal que

|\frac{∂f}{∂x_{j}} (x, y)| ≤ g(y) , |x − x_{0}| < ε , y ∈ U

con 1 ≤ j ≤ n fijo, entonces la funci’on F (x) = ∫_{U} f(x, y)dy es derivable para |x − x_{0}| < ε respecto

de x_{j}, y \frac{∂F}{∂x_{j}} (x) = ∫_{U} \frac{∂f}{∂x_{j}} (x, y)dy

Ejercicio 3.

i) Sean f, g derivables, h continua. Derivar

F (x) = ∫_{f(x)}^{g(x)} h(s)ds

ii) Sean f, g derivables, h = h(x, s) continua en las variables (x, s) y derivable respecto de x, \frac{∂h}{∂x} acotada. Derivar

G(x) = ∫_{f(x)}^{g(x)} h(x, s)ds

Ejercicio 4.

i) Desigualdad de Hőlder: Si 1 ≤ p ≤ ∞ y \frac{1}{p} + \frac{1}{p′} = 1 entonces

||fg||_{1} ≤ ||f||_{p}||g||_{p′}

ii) Desigualdad de Minkowsky: Si 1 ≤ p ≤ ∞, entonces

||f + g||_{p} ≤ ||f||_{p} + ||g||_{p}

Ejercicio 5. Dada f ∈ L^{p}(R^{n}), h ∈ R^{n}, τ_{−h}f(x) := f(x + h).

i) Para 1 ≤ p < ∞, lim_{h→0} ||τ_{−h}f − f||_{p} = 0. (Pista: usar que C_{0}(R^{n}) es denso en L^{p}(R^{n}) 1 ≤ p < ∞).

ii) Mostrar que i) no vale para p = ∞.

Ejercicio 6. Desigualdad de Young.

Sea f ∈ L^{1}(R^{n}), g ∈ L^{p}(R^{n}), 1 ≤ p ≤ ∞. Entonces f ∗ g ∈ L^{p}(R^{n}) con ||f ∗ g||_{p} ≤ ||f||_{1}||g||_{p}.

Ejercicio 7. Sea f ∈ L^{p}(R^{n}), g ∈ L^{p′}(R^{n}). Entonces f ∗ g ∈ L^{∞}(R^{n}), ||f ∗ g||_{∞} ≤ ||f||_{p}||g||_{p′} y adem’as f ∗ g es uniformemente continua.

Ejercicio 8. Sean f ∈ C_{0}^{k}(R^{n}) (k ∈ N), g ∈ L_{loc}^{1}(R^{n}). Entonces f ∗ g ∈ C^{k}(R^{n}) y D^{α}(f ∗ g) = (D^{α}f) ∗ g, |α| ≤ k.

Ejercicio 9.

i) Sea

ϕ(t) = \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{1−t^{2}}} & |t| < 1 \\ 0 & |t| ≥ 1 \end{matrix}

Probar que ϕ ∈ C_{0}^{∞}(R).

ii) Construir ϕ ∈ C_{0}^{∞}(R^{n}) tal que sop(ϕ) ⊂ B(0, ε), ε > 0.

Ejercicio 10. Sea ϕ ∈ L^{1}(R^{n}) tal que ∫ ϕ = 1, y ∀ε > 0, sea ϕ_{ε}(x) = ε^{−n}ϕ(x/ε). Probar que i) Si f ∈ L^{p}(R^{n}), 1 ≤ p < ∞ ⇒ ||f ∗ ϕ_{ε} − f||_{p} → 0 si ε → 0. ii) Si f ∈ L^{∞}(R^{n}), f uniformemente continua en V ⊂ R^{n}, entonces sup_{x∈V′} |f ∗ϕ_{ε}(x)−f(x)| → 0

si ε → 0 , ∀V′ compacto, V′ ⊂ V.

iii) Si f es continua y acotada en R^{n}, entonces f ∗ ϕ_{ε} tiende uniformemente a f en cada compacto de R^{n}.

iv) Si adem’as ϕ ∈ C_{0}^{∞}(R^{n}), f ∈ L^{p}(R^{n}) ⇒ f ∗ ϕ_{ε} ∈ C^{∞}(R^{n}).

v) Calcular f ∗ ϕ_{ε} si f = X_{[a,b]} y ϕ es la funci’on del ejercicio 9 i).

Ejercicio 11. Demostrar que C_{0}^{∞}(R^{n}) es denso en L^{p}(R^{n}) 1 ≤ p < ∞ utilizando los resultados obtenidos. Pista: las funciones de L^{p}(R^{n}) con soporte compacto son densas en L^{p}(R^{n}) 1 ≤ p < ∞.

Ejercicio 12. Sea Ω un dominio de R^{n}. Si f ∈ L_{loc}^{1}(Ω) y ∫_{Ω} fφ = 0 ∀φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω) ⇒ f = 0 c.t.p.

Ejercicio 13. Si f ∈ L_{loc}^{1}(R) y ∫ fφ′ = 0 ∀φ ∈ C_{0}^{∞}(R) ⇒ f = cte c.t.p. Pista: tomar g ∈ C_{0}^{∞}(R) tal que ∫ g = 1 y para cada φ ∈ C_{0}^{∞}(R), se verifica que φ(x) − (∫ φ)g(x)

es la derivada de una funci’on C_{0}^{∞}(R).

Ejercicio 14. Teorema de la divergencia - F’ormulas de Green Sea Ω un dominio en R^{n} con frontera C^{1}

i) si V⃗ = V⃗ (x) = (v_{1}(x), v_{2}(x), ..., v_{n}(x)), v_{i} ∈ C^{2}(Ω) ∩ C^{1}(\overline{Ω}), 1 ≤ i ≤ n, entonces

∫_{Ω} div V⃗ (x)dx = ∫_{∂Ω} V⃗ (x) · η(x)dS_{x}

(donde div V⃗ = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂v_{i}}{∂x_{i}} y η es la normal exterior al dominio Ω).

ii) si u, v ∈ C^{2}(Ω) ∩ C^{1}(\overline{Ω})

∫_{Ω}(vΔu + ∇u · ∇v)dx = ∫_{∂Ω} v \frac{∂u}{∂η}dS_{x}

∫_{Ω}(vΔu − uΔv)dx = ∫_{∂Ω}(v \frac{∂u}{∂η} − u\frac{∂v}{∂η})dS_{x}

Ejercicio 15. Revisar los siguientes teoremas:

i) Teorema de la función inversa. ii) Teorema de la función implícita. iii) Teorema de Arzelà-Ascoli.